Страница 244 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

957 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ Представьте, что вам необходимо изготовить из листа картона коробку (без крышки) для хранения гербария (рис. 10.30, а); высота коробки должна равняться 15 см, размеры одного листа гербария указаны на рисунке 10.30, б.

Начертите в тетради эскиз развёртки коробки, приняв сторону клетки за 5 см. Укажите размеры листа картона, необходимого для этой развёртки.

958 Найдите значение выражения

$2 \cdot 1\frac{5}{12} + 4 \cdot 1\frac{1}{8} + 1\frac{1}{9} \cdot 1\frac{1}{4}$

Для изготовления коробки без крышки для хранения листов гербария размером 20 см на 15 см, необходимо определить размеры листа картона для её развёртки. Дно коробки должно соответствовать размерам листа гербария, то есть 20 см × 15 см. Высота коробки по условию задачи составляет 15 см.

Развёртка коробки представляет собой крестообразную фигуру, состоящую из центрального прямоугольника (дна) и четырёх боковых стенок. Чтобы найти габаритные размеры необходимого листа картона, сложим размеры дна и высоты стенок.
Общая длина листа картона: $15 \text{ см (высота)} + 20 \text{ см (длина дна)} + 15 \text{ см (высота)} = 50 \text{ см}$.
Общая ширина листа картона: $15 \text{ см (высота)} + 15 \text{ см (ширина дна)} + 15 \text{ см (высота)} = 45 \text{ см}$.

Для построения эскиза в тетради с масштабом "1 клетка = 5 см", размеры будут следующими. Дно будет иметь размеры $20 \text{ см} \div 5 = 4$ клетки в длину и $15 \text{ см} \div 5 = 3$ клетки в ширину. Высота стенок составит $15 \text{ см} \div 5 = 3$ клетки. Таким образом, эскиз будет состоять из центрального прямоугольника 4×3 клетки, к длинным сторонам которого примыкают прямоугольники 4×3 клетки, а к коротким — квадраты 3×3 клетки.

Ответ: для развёртки необходим лист картона размером 50 см × 45 см.

Для нахождения значения выражения $2 \cdot 1\frac{5}{12} + 4 \cdot 1\frac{1}{8} + 1\frac{1}{9} \cdot 1\frac{1}{4}$ выполним действия по порядку.

1. Выполним умножение, предварительно преобразовав смешанные числа в неправильные дроби:
$2 \cdot 1\frac{5}{12} = 2 \cdot \frac{17}{12} = \frac{34}{12} = \frac{17}{6}$.
$4 \cdot 1\frac{1}{8} = 4 \cdot \frac{9}{8} = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}$.
$1\frac{1}{9} \cdot 1\frac{1}{4} = \frac{10}{9} \cdot \frac{5}{4} = \frac{50}{36} = \frac{25}{18}$.

2. Сложим полученные дроби, приведя их к общему знаменателю 18:
$\frac{17}{6} + \frac{9}{2} + \frac{25}{18} = \frac{17 \cdot 3}{18} + \frac{9 \cdot 9}{18} + \frac{25}{18} = \frac{51 + 81 + 25}{18} = \frac{157}{18}$.

3. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$157 \div 18 = 8$ с остатком $13$.
Итоговый результат: $8\frac{13}{18}$.

Ответ: $8\frac{13}{18}$.

958 Найдите значение выражения

$2 \cdot 1\frac{5}{12} + 4 \cdot 1\frac{1}{8} + 1\frac{1}{9} \cdot 1\frac{1}{4}$

Чтобы найти значение выражения $2 \cdot 1\frac{5}{12} + 4 \cdot 1\frac{1}{8} + 1\frac{1}{9} \cdot 1\frac{1}{4}$, необходимо выполнить действия в правильном порядке: сначала три операции умножения, а затем сложение их результатов. Для удобства вычислений преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

1. Выполним первое умножение. Сначала преобразуем $1\frac{5}{12}$ в неправильную дробь:

$1\frac{5}{12} = \frac{1 \cdot 12 + 5}{12} = \frac{17}{12}$

Теперь умножим:

$2 \cdot \frac{17}{12} = \frac{2 \cdot 17}{12} = \frac{34}{12}$. Сократим дробь на 2: $\frac{17}{6}$.

2. Выполним второе умножение. Преобразуем $1\frac{1}{8}$:

$1\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{9}{8}$

Умножим:

$4 \cdot \frac{9}{8} = \frac{4 \cdot 9}{8} = \frac{36}{8}$. Сократим дробь на 4: $\frac{9}{2}$.

3. Выполним третье умножение. Преобразуем $1\frac{1}{9}$ и $1\frac{1}{4}$:

$1\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{10}{9}$

$1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$

Умножим дроби:

$\frac{10}{9} \cdot \frac{5}{4} = \frac{10 \cdot 5}{9 \cdot 4} = \frac{50}{36}$. Сократим дробь на 2: $\frac{25}{18}$.

4. Теперь сложим полученные результаты:

$\frac{17}{6} + \frac{9}{2} + \frac{25}{18}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6, 2 и 18 — это 18.

$\frac{17}{6} = \frac{17 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{51}{18}$

$\frac{9}{2} = \frac{9 \cdot 9}{2 \cdot 9} = \frac{81}{18}$

Выполним сложение:

$\frac{51}{18} + \frac{81}{18} + \frac{25}{18} = \frac{51 + 81 + 25}{18} = \frac{157}{18}$

5. Преобразуем неправильную дробь $\frac{157}{18}$ в смешанное число. Для этого разделим 157 на 18 с остатком:

$157 \div 18 = 8$ (остаток $13$)

Таким образом, $\frac{157}{18} = 8\frac{13}{18}$.

Ответ: $8\frac{13}{18}$.

959 Сократите дробь:

а) $ \frac{21 \cdot 4 \cdot 3}{27 \cdot 56} $

б) $ \frac{8 \cdot 11 \cdot 19}{44 \cdot 57} $

а) Чтобы сократить дробь $\frac{21 \cdot 4 \cdot 3}{27 \cdot 56}$, будем последовательно сокращать множители в числителе и знаменателе, находя их общие делители.

1. Сократим 21 в числителе и 27 в знаменателе на их общий делитель 3:

$21 \div 3 = 7$

$27 \div 3 = 9$

Получим: $\frac{7 \cdot 4 \cdot 3}{9 \cdot 56}$

2. Сократим 3 в числителе и 9 в знаменателе на их общий делитель 3:

$3 \div 3 = 1$

$9 \div 3 = 3$

Получим: $\frac{7 \cdot 4 \cdot 1}{3 \cdot 56} = \frac{7 \cdot 4}{3 \cdot 56}$

3. Сократим 4 в числителе и 56 в знаменателе на их общий делитель 4:

$4 \div 4 = 1$

$56 \div 4 = 14$

Получим: $\frac{7 \cdot 1}{3 \cdot 14} = \frac{7}{3 \cdot 14}$

4. Сократим 7 в числителе и 14 в знаменателе на их общий делитель 7:

$7 \div 7 = 1$

$14 \div 7 = 2$

Получим: $\frac{1}{3 \cdot 2} = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{8 \cdot 11 \cdot 19}{44 \cdot 57}$, также найдем общие делители у множителей в числителе и знаменателе.

1. Сократим 11 в числителе и 44 в знаменателе на их общий делитель 11:

$11 \div 11 = 1$

$44 \div 11 = 4$

Получим: $\frac{8 \cdot 1 \cdot 19}{4 \cdot 57} = \frac{8 \cdot 19}{4 \cdot 57}$

2. Сократим 8 в числителе и 4 в знаменателе на их общий делитель 4:

$8 \div 4 = 2$

$4 \div 4 = 1$

Получим: $\frac{2 \cdot 19}{1 \cdot 57} = \frac{2 \cdot 19}{57}$

3. Сократим 19 в числителе и 57 в знаменателе на их общий делитель 19. Заметим, что $57 = 3 \cdot 19$.

$19 \div 19 = 1$

$57 \div 19 = 3$

Получим: $\frac{2 \cdot 1}{3} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

960 Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста равна 40 км/ч, велосипедиста – 12 км/ч. Какое расстояние будет между ними:

а) через 1 ч;

б) через 2 ч;

в) через 3 ч?

Для решения этой задачи нужно найти, на какое расстояние мотоциклист обгоняет велосипедиста каждый час. Это называется скоростью удаления.

Скорость мотоциклиста — $40$ км/ч.

Скорость велосипедиста — $12$ км/ч.

Поскольку они движутся в одном направлении, скорость их удаления друг от друга равна разности их скоростей:

$v_{уд} = 40 \text{ км/ч} - 12 \text{ км/ч} = 28 \text{ км/ч}$.

Это значит, что каждый час расстояние между ними увеличивается на 28 км. Чтобы найти расстояние через определенное время, нужно скорость удаления умножить на это время.

а) через 1 ч

Рассчитаем расстояние через 1 час:

$S = 28 \text{ км/ч} \cdot 1 \text{ ч} = 28$ км.

Ответ: 28 км.

б) через 2 ч

Рассчитаем расстояние через 2 часа:

$S = 28 \text{ км/ч} \cdot 2 \text{ ч} = 56$ км.

Ответ: 56 км.

в) через 3 ч

Рассчитаем расстояние через 3 часа:

$S = 28 \text{ км/ч} \cdot 3 \text{ ч} = 84$ км.

Ответ: 84 км.

961 Печенье упаковали в пачки по 250 г. Пачки сложили в ящик в 4 слоя. Каждый слой имеет 5 рядов, по 6 пачек в каждом. Определите массу (в килограммах) печенья, сложенного в ящик.

Для того чтобы определить массу печенья в ящике, необходимо выполнить несколько последовательных действий.

1. Найдем количество пачек печенья в одном слое.

Согласно условию, каждый слой состоит из 5 рядов, в каждом из которых находится по 6 пачек печенья. Чтобы найти общее количество пачек в одном слое, нужно умножить количество рядов на количество пачек в каждом ряду:

$5 \times 6 = 30 \text{ (пачек)}$

Таким образом, в одном слое находится 30 пачек печенья.

2. Найдем общее количество пачек печенья в ящике.

В ящик сложили 4 таких слоя. Чтобы найти общее количество пачек, умножим количество пачек в одном слое на количество слоев:

$30 \times 4 = 120 \text{ (пачек)}$

Следовательно, всего в ящике находится 120 пачек печенья.

3. Найдем общую массу печенья в граммах.

Масса одной пачки печенья составляет 250 г. Чтобы найти общую массу всего печенья в ящике, умножим общее количество пачек на массу одной пачки:

$120 \times 250 = 30000 \text{ (г)}$

Общая масса печенья в ящике составляет 30 000 граммов.

4. Переведем массу из граммов в килограммы.

В одном килограмме 1000 граммов. Чтобы выразить массу в килограммах, необходимо разделить массу в граммах на 1000:

$30000 \text{ г} \div 1000 = 30 \text{ (кг)}$

Ответ: 30 кг.