Страница 249 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

976 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Для разведения крупных рыбок требуется аквариум объёмом не менее 150 л. Представьте, что у вас есть аквариум длиной 95 см, шириной 32 см и высотой 50 см. Подойдёт ли он для разведения крупных рыбок?

Чтобы определить, подходит ли аквариум, нужно вычислить его объём и сравнить с требуемым минимальным объёмом в 150 литров.

Аквариум представляет собой прямоугольный параллелепипед, объём которого $V$ вычисляется по формуле:

$V = \text{длина} \times \text{ширина} \times \text{высота}$

Подставим данные из условия задачи:

• Длина = 95 см
• Ширина = 32 см
• Высота = 50 см

Вычислим объём аквариума в кубических сантиметрах (см³):

$V = 95 \text{ см} \cdot 32 \text{ см} \cdot 50 \text{ см} = 152 000 \text{ см}^3$

Теперь необходимо перевести объём из кубических сантиметров в литры. Мы знаем, что 1 литр равен 1000 кубических сантиметров:

$1 \text{ л} = 1000 \text{ см}^3$

Разделим полученный объём на 1000, чтобы получить объём в литрах:

$V = \frac{152 000 \text{ см}^3}{1000} = 152 \text{ л}$

Согласно условию, для разведения крупных рыбок требуется аквариум объёмом не менее 150 литров. Сравним фактический объём с требуемым:

$152 \text{ л} \geq 150 \text{ л}$

Так как объём имеющегося аквариума (152 л) больше минимально необходимого (150 л), он подходит для поставленной цели.

Ответ: Да, этот аквариум подойдёт для разведения крупных рыбок.

977 За сутки человек совершает вдох и выдох примерно 23 000 раз. За один вдох в лёгкие поступает 500 $ \text{см}^3 $ воздуха. Какой объём воздуха (в литрах) проходит через лёгкие человека за сутки?

Для того чтобы найти общий объем воздуха, проходящего через легкие человека за сутки, необходимо умножить количество вдохов за сутки на объем воздуха, поступающего в легкие за один вдох.

1. Вычислим общий объем воздуха в кубических сантиметрах (см³). Известно, что количество вдохов в сутки составляет 23 000, а объем одного вдоха — 500 см³.

$23\ 000 \times 500 \text{ см}^3 = 11\ 500\ 000 \text{ см}^3$

2. Теперь переведем полученный результат в литры. В одном литре содержится 1000 кубических сантиметров:

$1 \text{ л} = 1000 \text{ см}^3$

Чтобы найти объем в литрах, разделим значение в см³ на 1000:

$\frac{11\ 500\ 000 \text{ см}^3}{1000} = 11\ 500 \text{ л}$

Таким образом, за сутки через легкие человека проходит 11 500 литров воздуха.

Ответ: 11 500 л.

978 Бруски размером 2 см, 4 см, 8 см сложили штабелем (рис. 10.41). Каковы размеры штабеля? Сколько в нём брусков? Каков его объём?

Рис. 10.41

Для решения задачи необходимо последовательно ответить на три вопроса, основываясь на данных и изображении.

Данные:

• Размеры одного бруска: 2 см, 4 см, 8 см.

Каковы размеры штабеля?

Чтобы определить размеры штабеля, проанализируем его конструкцию по рисунку.

1. Высота. Штабель состоит из 4 слоев брусков. Каждый брусок лежит плашмя, поэтому высота одного слоя равна наименьшему размеру бруска — 2 см. Общая высота штабеля составляет:
   $4 \times 2 \text{ см} = 8 \text{ см}$.
2. Ширина. Фронтальная сторона штабеля в каждом слое состоит из двух брусков, уложенных рядом. В зависимости от ориентации, ширина составлена либо из двух сторон по 4 см ($4 + 4 = 8$ см), либо из одной стороны длиной 8 см. В обоих случаях общая ширина штабеля равна 8 см.
3. Глубина. Глубина штабеля также равна 8 см. В слоях, где бруски уложены вдоль, их длина 8 см образует глубину. В слоях, где они уложены поперек, глубина складывается из ширины двух брусков: $4 \text{ см} + 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Таким образом, штабель представляет собой куб со стороной 8 см.

Ответ: Размеры штабеля — 8 см × 8 см × 8 см.

Сколько в нём брусков?

Количество брусков можно определить, разделив общий объём штабеля на объём одного бруска.

1. Вычислим объём одного бруска ($V_{бруска}$):
   $V_{бруска} = 2 \text{ см} \times 4 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 64 \text{ см}^3$.
2. Вычислим общий объём всего штабеля ($V_{штабеля}$), используя найденные ранее размеры:
   $V_{штабеля} = 8 \text{ см} \times 8 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 512 \text{ см}^3$.
3. Найдём количество брусков ($N$), разделив объём штабеля на объём бруска:
   $N = \frac{V_{штабеля}}{V_{бруска}} = \frac{512 \text{ см}^3}{64 \text{ см}^3} = 8$.

Проверка: в каждом слое размером 8×8 см уложено по 2 бруска (площадь основания бруска $4 \times 8 = 32 \text{ см}^2$; $2 \times 32 = 64 \text{ см}^2$). Всего 4 слоя. Итого: $4 \times 2 = 8$ брусков.

Ответ: В штабеле 8 брусков.

Каков его объём?

Объём прямоугольного параллелепипеда (и куба в частности) равен произведению его длины, ширины и высоты. Мы уже определили, что размеры штабеля составляют 8 см, 8 см и 8 см.

Вычислим объём штабеля ($V$):
$V = 8 \text{ см} \times 8 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 8^3 \text{ см}^3 = 512 \text{ см}^3$.

Этот же результат можно получить, умножив объём одного бруска на их общее количество:
$V = V_{бруска} \times N = 64 \text{ см}^3 \times 8 = 512 \text{ см}^3$.

Ответ: Объём штабеля равен 512 см³.

979 МОДЕЛИРУЕМ

У квадратного листа бумаги отрезали уголки (рис. 10.42) и сделали коробку. Сторона большого (исходного) квадрата равна 20 см, маленьких (отрезанных) — 5 см. Вычислите объём получившейся коробки.

Подсказка. Можно воспользоваться моделью, например сделав её из листа в клетку.

Рис. 10.42

Для решения задачи необходимо найти размеры получившейся коробки (длину, ширину и высоту) и затем вычислить её объём.

Исходные данные:

• Форма листа бумаги: квадрат.
• Сторона исходного квадрата: 20 см.
• Сторона вырезанных по углам квадратов: 5 см.

1. Находим размеры основания коробки.

Основание коробки — это центральная часть исходного листа, которая осталась после вырезания уголков. Чтобы найти длину и ширину основания, нужно из длины стороны большого квадрата вычесть длины двух вырезанных уголков (по одному с каждой стороны).

Длина основания: $20 \text{ см} - 2 \times 5 \text{ см} = 20 - 10 = 10 \text{ см}$.

Ширина основания: $20 \text{ см} - 2 \times 5 \text{ см} = 20 - 10 = 10 \text{ см}$.

Таким образом, основание коробки представляет собой квадрат со стороной 10 см.

2. Находим высоту коробки.

Высота коробки образуется при сгибании боковых частей. Длина этих частей равна стороне вырезанного квадрата. Следовательно, высота коробки равна 5 см.

3. Вычисляем объём коробки.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: $V = \text{длина} \times \text{ширина} \times \text{высота}$.

Подставляем полученные значения:

$V = 10 \text{ см} \times 10 \text{ см} \times 5 \text{ см} = 500 \text{ см}^3$.

Ответ: $500 \text{ см}^3$.

980 Ищем способ подсчёта

Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 см и выстроили в один ряд. Какой длины получился ряд?

Подсказка.

Сначала «разрежьте» куб поменьше, например со стороной 3 см, см. задание 950, рис. 10.25.

Для решения задачи сначала необходимо привести все размеры к одной единице измерения. Длина ребра большого куба дана в метрах, а маленьких кубиков — в сантиметрах. Переведем метры в сантиметры, зная, что в одном метре 100 сантиметров.

Длина ребра большого куба: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.

Теперь нужно определить, сколько маленьких кубиков с ребром 1 см получится из большого куба с ребром 100 см. Для этого найдем общее количество маленьких кубиков, которое можно получить, "разрезав" большой куб.

По каждой из трех осей (длине, ширине и высоте) большого куба уложится $100 \text{ см} / 1 \text{ см} = 100$ маленьких кубиков.

Общее количество маленьких кубиков $N$ будет равно произведению количества кубиков по каждому измерению:

$N = 100 \times 100 \times 100 = 100^3 = 1\;000\;000$ (один миллион) кубиков.

Далее, все эти маленькие кубики выстроили в один ряд. Поскольку длина ребра (сторона) каждого кубика равна 1 см, то общая длина ряда будет равна количеству кубиков, умноженному на длину стороны одного кубика.

Длина ряда $L$ составит:

$L = 1\;000\;000 \times 1 \text{ см} = 1\;000\;000 \text{ см}$.

Полученное значение очень велико, поэтому для удобства восприятия переведем его в более крупные единицы измерения — метры и километры.

Перевод в метры (в 1 м = 100 см):

$L = \frac{1\;000\;000 \text{ см}}{100 \text{ см/м}} = 10\;000 \text{ м}$.

Перевод в километры (в 1 км = 1000 м):

$L = \frac{10\;000 \text{ м}}{1000 \text{ м/км}} = 10 \text{ км}$.

Таким образом, длина ряда из маленьких кубиков составит 10 километров.

Ответ: 10 км.

981 Вычислите значение выражения:

а) $(\frac{3}{4} + \frac{3}{8} + \frac{5}{6}) \cdot 24;$

б) $7 \cdot \frac{2}{3} + 7 \cdot \frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{5}{6}.$

а)

Чтобы вычислить значение выражения $(\frac{3}{4} + \frac{3}{8} + \frac{5}{6}) \cdot 24$, можно использовать распределительное свойство умножения относительно сложения. Умножим каждый член в скобках на 24.
$(\frac{3}{4} + \frac{3}{8} + \frac{5}{6}) \cdot 24 = \frac{3}{4} \cdot 24 + \frac{3}{8} \cdot 24 + \frac{5}{6} \cdot 24$

Теперь вычислим каждое произведение по отдельности:
1. $\frac{3}{4} \cdot 24 = 3 \cdot \frac{24}{4} = 3 \cdot 6 = 18$
2. $\frac{3}{8} \cdot 24 = 3 \cdot \frac{24}{8} = 3 \cdot 3 = 9$
3. $\frac{5}{6} \cdot 24 = 5 \cdot \frac{24}{6} = 5 \cdot 4 = 20$

Сложим полученные результаты:
$18 + 9 + 20 = 47$

Ответ: 47

б)

В выражении $7 \cdot \frac{2}{3} + 7 \cdot \frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{5}{6}$ есть общий множитель 7. Используем распределительное свойство умножения, чтобы вынести его за скобки.
$7 \cdot \frac{2}{3} + 7 \cdot \frac{1}{2} + 7 \cdot \frac{5}{6} = 7 \cdot (\frac{2}{3} + \frac{1}{2} + \frac{5}{6})$

Теперь выполним сложение дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3, 2 и 6 - это 6.
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$

Подставим дроби с общим знаменателем в скобки и сложим их:
$\frac{4}{6} + \frac{3}{6} + \frac{5}{6} = \frac{4 + 3 + 5}{6} = \frac{12}{6} = 2$

Теперь умножим общий множитель 7 на результат, полученный в скобках:
$7 \cdot 2 = 14$

Ответ: 14

982 Две электрички двигались от двух платформ навстречу друг другу. Через 3 мин после встречи расстояние между ними стало равным 7 км 500 м. Сколько метров в минуту проезжала первая электричка, если вторая проезжала 1200 м в минуту? Выразите скорости электричек в километрах в час.

Сколько метров в минуту проезжала первая электричка, если вторая проезжала 1200 м в минуту?

1. Сначала переведем расстояние, которое стало между электричками через 3 минуты после встречи, в метры:
$7 \text{ км } 500 \text{ м } = 7 \times 1000 \text{ м } + 500 \text{ м } = 7500 \text{ м }$.

2. После встречи электрички продолжили движение в противоположных направлениях. Скорость, с которой они удаляются друг от друга (скорость удаления), равна сумме их скоростей. Эту скорость можно найти, разделив общее расстояние, на которое они удалились, на время:
$v_{удаления} = \frac{S}{t} = \frac{7500 \text{ м}}{3 \text{ мин}} = 2500 \text{ м/мин}$.

3. Скорость удаления ($v_{удаления}$) равна сумме скорости первой электрички ($v_1$) и скорости второй электрички ($v_2$). Зная скорость удаления и скорость второй электрички, найдем скорость первой:
$v_1 = v_{удаления} - v_2$
$v_1 = 2500 \text{ м/мин} - 1200 \text{ м/мин} = 1300 \text{ м/мин}$.
Ответ: первая электричка проезжала 1300 метров в минуту.

Выразите скорости электричек в километрах в час.

Для перевода скорости из метров в минуту (м/мин) в километры в час (км/ч) используем соотношения: $1 \text{ км } = 1000 \text{ м}$ и $1 \text{ час } = 60 \text{ мин}$. Таким образом, чтобы перевести м/мин в км/ч, нужно умножить значение на 60 и разделить на 1000.

1. Скорость первой электрички:
$v_1 = 1300 \text{ м/мин} = 1300 \times \frac{60 \text{ мин/ч}}{1000 \text{ м/км}} = \frac{1300 \times 60}{1000} \text{ км/ч} = \frac{78000}{1000} \text{ км/ч} = 78 \text{ км/ч}$.

2. Скорость второй электрички:
$v_2 = 1200 \text{ м/мин} = 1200 \times \frac{60 \text{ мин/ч}}{1000 \text{ м/км}} = \frac{1200 \times 60}{1000} \text{ км/ч} = \frac{72000}{1000} \text{ км/ч} = 72 \text{ км/ч}$.
Ответ: скорость первой электрички – 78 км/ч, скорость второй электрички – 72 км/ч.