Страница 252 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

988 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ

Сколько вершин, граней, рёбер у пирамиды: а) шестиугольной; б) десятиугольной; в) стоугольной?

Для нахождения количества вершин, граней и рёбер у пирамиды, выведем общую закономерность для n-угольной пирамиды, где $n$ — это количество вершин (или сторон) у многоугольника, лежащего в основании.
- Количество вершин: у пирамиды есть $n$ вершин в основании и одна вершина наверху (апекс). Таким образом, общее число вершин: $n + 1$.
- Количество граней: у пирамиды есть одна грань-основание и $n$ боковых треугольных граней. Таким образом, общее число граней: $n + 1$.
- Количество рёбер: у пирамиды есть $n$ рёбер в основании и $n$ рёбер, соединяющих вершины основания с апексом. Таким образом, общее число рёбер: $2n$.

Теперь, используя эти формулы, решим задачу для каждого случая.

а) У шестиугольной пирамиды в основании находится шестиугольник, поэтому $n = 6$.
Количество вершин: $6 + 1 = 7$.
Количество граней: $6 + 1 = 7$.
Количество рёбер: $2 \times 6 = 12$.
Ответ: 7 вершин, 7 граней, 12 рёбер.

б) У десятиугольной пирамиды в основании находится десятиугольник, поэтому $n = 10$.
Количество вершин: $10 + 1 = 11$.
Количество граней: $10 + 1 = 11$.
Количество рёбер: $2 \times 10 = 20$.
Ответ: 11 вершин, 11 граней, 20 рёбер.

в) У стоугольной пирамиды в основании находится стоугольник, поэтому $n = 100$.
Количество вершин: $100 + 1 = 101$.
Количество граней: $100 + 1 = 101$.
Количество рёбер: $2 \times 100 = 200$.
Ответ: 101 вершина, 101 грань, 200 рёбер.

989 Нужно изготовить каркасную модель треугольной пирамиды, все ребра которой равны 7 см. Сколько потребуется проволоки?

Чтобы найти, сколько проволоки потребуется для изготовления каркасной модели треугольной пирамиды, нужно сначала определить общее количество ребер у этой фигуры.

Треугольная пирамида имеет основание в виде треугольника и три боковые грани, которые сходятся в одной вершине.

• В основании пирамиды 3 ребра.
• От вершин основания к вершине пирамиды идут еще 3 боковых ребра.

Таким образом, общее количество ребер у треугольной пирамиды составляет $3 + 3 = 6$ ребер.

Согласно условию, все ребра равны, и длина каждого ребра составляет 7 см.

Для нахождения общей длины проволоки необходимо умножить количество ребер на длину одного ребра:

$6 \times 7 \text{ см} = 42 \text{ см}$

Ответ: 42 см.

990 Развёртка какого многогранника изображена на рисунке 10.46?

Указание. Проверьте себя: перенесите этот рисунок на лист бумаги, вырежите развёртку и сложите её в многогранник.

a) $M$, $K$, $E$, $A$, $B$, $C$, $D$

б) $2$

Рис. 10.46

На рисунке 10.46 изображена развёртка, которая состоит из одной центральной фигуры и четырёх боковых фигур, примыкающих к её сторонам.

Центральная фигура — это квадрат. При сборке (сгибании) развёртки он будет являться основанием многогранника.

Боковые фигуры — это четыре равных между собой равнобедренных треугольника. Они образуют боковую поверхность многогранника. Когда развёртку сложат, вершины этих треугольников соединятся в одной точке, образуя вершину многогранника.

Многогранник, у которого одна грань (основание) является многоугольником, а остальные грани (боковые) — треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.

Поскольку в основании данной пирамиды лежит квадрат (правильный четырёхугольник), а её боковые грани — равные равнобедренные треугольники (из чего следует, что вершина пирамиды проецируется в центр основания), то этот многогранник является правильной четырёхугольной пирамидой.

Ответ: На рисунке изображена развёртка правильной четырёхугольной пирамиды.

991 Являются ли развёртками треугольной пирамиды многоугольники, изображённые на рисунке 10.47?

Подсказка. Скопируйте их на лист бумаги и проверьте.

Рис. 10.47

Чтобы определить, является ли многоугольник развёрткой треугольной пирамиды, нужно мысленно (или физически, вырезав из бумаги) попробовать сложить из него объёмную фигуру. Треугольная пирамида состоит из четырех треугольных граней. У развёртки должно быть 4 треугольника, которые при сгибании образуют замкнутое тело без наложений граней друг на друга.

1

Данный многоугольник состоит из четырёх равносторонних треугольников. Если принять центральный треугольник за основание пирамиды, то три остальных треугольника можно согнуть по общим сторонам и поднять вверх. Их вершины сойдутся в одной точке, образовав вершину пирамиды. Таким образом, получится замкнутая объёмная фигура — треугольная пирамида (правильный тетраэдр).

Ответ: Да, является.

2

Этот многоугольник представляет собой полосу из четырёх равносторонних треугольников. Попробуем его сложить. Если взять второй треугольник слева за основание, то первый треугольник слева и третий треугольник слева поднимутся и станут боковыми гранями. Однако четвёртый, крайний правый треугольник, при попытке замкнуть фигуру наложится на первую боковую грань (первый треугольник слева). В результате одна грань пирамиды будет отсутствовать, а другая будет двойной. Замкнутая пирамида не получится.

Ответ: Нет, не является.

3

Эта фигура также состоит из четырёх равносторонних треугольников. Если выбрать в качестве основания тот треугольник, к которому примыкают три других (в данном случае, верхний центральный), то остальные три треугольника можно поднять вверх. Они сойдутся в одной вершине и сформируют боковые грани пирамиды. Эта развёртка, как и первая, позволяет собрать треугольную пирамиду.

Ответ: Да, является.

992 НАБЛЮДАЕМ

На каркас пирамиды напаяна проволока так, как показано на рисунке 10.48, а. Какие грани пирамиды изображены на рисунке 10.48, б?

a) Пирамида имеет вершину $M$ и основание $ABCD$.

б) На рисунке 10.48, б изображены три грани пирамиды, которые являются треугольниками.

Грани пирамиды $MABCD$ включают основание $ABCD$ и боковые грани:

• $\triangle MAB$
• $\triangle MBC$
• $\triangle MCD$
• $\triangle MDA$

На рисунке 10.48, б представлены три из этих боковых граней, обозначенные как 1, 2 и 3.

Рис. 10.48

Для того чтобы определить, какие грани пирамиды изображены на рисунке 10.48, б, необходимо сопоставить раскраску рёбер каждого из трёх треугольников с раскраской рёбер боковых граней пирамиды, показанной на рисунке 10.48, а.

На рисунке 10.48, а изображена пятиугольная пирамида с вершиной M и основанием ABCDE. Боковыми гранями пирамиды являются треугольники: MAB, MBC, MCD, MDE и MEA.

Проанализируем цвета рёбер пирамиды:

Рёбра основания: AB, BC, CD — чёрные; DE, EA — оранжевые.

Боковые рёбра: MA, MB — чёрные; MC, MD — оранжевые. Ребро ME не изображено, но, исходя из закономерности раскраски (соседние рёбра MD и EA оранжевые), можно предположить, что ребро ME также оранжевое.

Теперь сопоставим каждый треугольник с рисунка 10.48, б с боковыми гранями пирамиды.

Треугольник под номером 1 имеет две чёрные стороны и одну оранжевую. Проверим, какая из боковых граней пирамиды имеет такое же сочетание цветов рёбер:

• Грань MAB: рёбра MA (чёрное), MB (чёрное), AB (чёрное) — все три стороны чёрные.
• Грань MBC: рёбра MB (чёрное), BC (чёрное), MC (оранжевое) — две чёрные стороны и одна оранжевая. Соответствует.
• Грань MCD: рёбра MC (оранжевое), MD (оранжевое), CD (чёрное) — две оранжевые стороны и одна чёрная.
• Грань MEA: рёбра ME (оранжевое), EA (оранжевое), MA (чёрное) — две оранжевые стороны и одна чёрная.

Таким образом, треугольник 1 изображает грань MBC.

Ответ: Грань MBC.

Треугольник под номером 2 имеет одну чёрную сторону и две оранжевые. Найдём грани, соответствующие этому описанию:

• Грань MCD: ребро CD (чёрное), рёбра MC (оранжевое) и MD (оранжевое). Соответствует.
• Грань MEA: ребро MA (чёрное), рёбра ME (оранжевое) и EA (оранжевое). Соответствует.

Поскольку треугольник 3 имеет такую же раскраску, мы можем соотнести треугольник 2 с одной из этих граней, например, с гранью MCD.

Ответ: Грань MCD.

Треугольник под номером 3, как и треугольник 2, имеет одну чёрную сторону и две оранжевые. Как мы установили в предыдущем пункте, этому описанию, помимо грани MCD, удовлетворяет также грань MEA (ребро MA — чёрное, рёбра ME и EA — оранжевые).

Следовательно, треугольник 3 изображает грань MEA.

Ответ: Грань MEA.