Страница 254 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

1. Возьмите модель многогранника и определите число его вершин. Сколько у этого многогранника рёбер? Измерьте и запишите длину каждого ребра. Сколько у многогранника граней? Какую форму они имеют?

Поскольку в задании не указана конкретная модель многогранника, в качестве примера для выполнения задания возьмем куб (также известный как правильный гексаэдр).

Определите число его вершин.

Вершина — это точка, в которой сходятся рёбра многогранника. У куба есть 4 вершины на верхнем основании и 4 вершины на нижнем. Таким образом, общее число вершин ($В$) у куба равно 8.

$В = 4 \text{ (сверху)} + 4 \text{ (снизу)} = 8$

Ответ: у куба 8 вершин.

Сколько у этого многогранника рёбер?

Ребро — это отрезок, соединяющий две вершины многогранника. У куба 4 ребра образуют верхнее основание, 4 ребра — нижнее основание, и еще 4 боковых ребра соединяют вершины верхнего и нижнего оснований. Общее число рёбер ($Р$) составляет 12.

$Р = 4 \text{ (сверху)} + 4 \text{ (снизу)} + 4 \text{ (боковых)} = 12$

Ответ: у куба 12 рёбер.

Измерьте и запишите длину каждого ребра.

Для выполнения этой части задания необходимо произвести реальное измерение модели. Предположим, что мы измерили одно из рёбер нашей модели куба, и его длина составила 3 см. Так как куб является правильным многогранником, все его рёбра равны между собой.

Ответ: длина каждого из 12 рёбер равна 3 см.

Сколько у многогранника граней?

Грань — это многоугольник, образующий поверхность многогранника. У куба есть верхняя и нижняя грани, а также четыре боковые грани. Всего у куба 6 граней ($Г$).

$Г = 1 \text{ (верхняя)} + 1 \text{ (нижняя)} + 4 \text{ (боковые)} = 6$

Ответ: у куба 6 граней.

Какую форму они имеют?

Все грани куба являются одинаковыми правильными четырёхугольниками, то есть квадратами.

Ответ: все грани куба имеют форму квадрата.

Примечание: Для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение, известное как формула Эйлера: $В - Р + Г = 2$. Для нашего куба: $8 - 12 + 6 = -4 + 6 = 2$. Равенство выполняется, что подтверждает правильность наших подсчётов.

2. Выпишите все видимые грани многогранника. Сколько рёбер сходится в вершине A?

Видимые грани:
$BCK$, $ABCD$, $DCKE$, $ABKE$.

Количество рёбер, сходящихся в вершине $A$:
3 ребра.

Выпишите все видимые грани многогранника

Видимыми гранями многогранника являются те его плоские поверхности, которые обращены к наблюдателю. На чертеже их рёбра изображены сплошными линиями. Рассматривая данный многогранник, мы можем выделить следующие видимые грани:

• Передняя грань, образованная вершинами $A, B, C, D$. Обозначим её как $ABCD$.
• Правая боковая грань, образованная вершинами $C, D, K$. Обозначим её как $CDK$.
• Верхняя грань, частью которой является видимое ребро $BC$.

Ответ: $ABCD$, $CDK$, верхняя грань.

Сколько рёбер сходится в вершине А?

Чтобы найти количество рёбер, сходящихся в вершине $A$, нужно посчитать все отрезки, которые соединяют вершину $A$ с другими вершинами многогранника. На чертеже из вершины $A$ выходят следующие рёбра:

• Ребро $AB$ (видимое, сплошная линия).
• Ребро $AD$ (видимое, сплошная линия).
• Ребро $AE$ (невидимое, штриховая линия).

Всего в вершине $A$ сходится 3 ребра.

Ответ: 3.

3. Известны длины рёбер параллелепипеда: $AB = 2 \text{ см } 5 \text{ мм}$, $AD = 2 \text{ см}$, $AK = 4 \text{ см}$.

а) Запишите длины рёбер $CD$, $DL$, $KL$.

б) Начертите грань $BMNC$ в натуральную величину.

Данная фигура — прямоугольный параллелепипед. В прямоугольном параллелепипеде все грани являются прямоугольниками, а противоположные рёбра равны и параллельны. Из вершины A выходят три ребра, которые определяют три измерения параллелепипеда:

• Длина: $AB = 2$ см $5$ мм $= 2,5$ см
• Ширина (или высота в зависимости от ориентации): $AD = 2$ см
• Высота (или глубина): $AK = 4$ см

Все рёбра параллелепипеда можно сгруппировать в три группы параллельных и равных между собой рёбер:

1. Рёбра, параллельные $AB$: $DC$, $KL$, $MN$. Их длина равна $2,5$ см.
2. Рёбра, параллельные $AD$: $BC$, $KN$, $ML$. Их длина равна $2$ см.
3. Рёбра, параллельные $AK$: $BM$, $CN$, $DL$. Их длина равна $4$ см.

а) Запишите длины рёбер CD, DL, KL.

Используя свойства параллелепипеда, найдём длины указанных рёбер:

• Ребро $CD$ параллельно и равно ребру $AB$. Следовательно, его длина $CD = AB = 2,5$ см, или $2$ см $5$ мм.
• Ребро $DL$ параллельно и равно ребру $AK$. Следовательно, его длина $DL = AK = 4$ см.
• Ребро $KL$ параллельно и равно ребру $AB$. Следовательно, его длина $KL = AB = 2,5$ см, или $2$ см $5$ мм.

Ответ: $CD = 2$ см $5$ мм, $DL = 4$ см, $KL = 2$ см $5$ мм.

б) Начертите грань BMNC в натуральную величину.

Грань $BMNC$ — это боковая грань параллелепипеда. Так как это прямоугольный параллелепипед, эта грань является прямоугольником. Найдём длины её сторон. Сторонами этого прямоугольника являются рёбра $BM$ и $MN$ (или $BC$).

• Найдём длину ребра $BM$. Ребро $BM$ параллельно и равно ребру $AK$.
  $BM = AK = 4$ см.
• Найдём длину ребра $BC$. Ребро $BC$ параллельно и равно ребру $AD$.
  $BC = AD = 2$ см.

Таким образом, грань $BMNC$ — это прямоугольник со сторонами $4$ см и $2$ см. Чтобы начертить его в натуральную величину, необходимо построить прямоугольник с помощью линейки и угольника, у которого одна сторона равна $4$ см, а смежная с ней — $2$ см.

Ответ: Требуется начертить прямоугольник со сторонами 4 см и 2 см.

4. Найдите площадь наибольшей грани параллелепипеда с измерениями 3 см, 4 см, 5 см.

Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения: длину, ширину и высоту. В данном случае они равны 3 см, 4 см и 5 см. Грани параллелепипеда являются прямоугольниками, площади которых определяются произведением двух из этих измерений. Всего существует три пары одинаковых граней с разными площадями.

Чтобы найти площадь наибольшей грани, необходимо рассчитать площади для всех трех уникальных комбинаций сторон и выбрать из них максимальную. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — длины его сторон.

Рассчитаем площади трех возможных граней:

1. Площадь грани со сторонами 3 см и 4 см:
$S_1 = 3 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$

2. Площадь грани со сторонами 3 см и 5 см:
$S_2 = 3 \text{ см} \times 5 \text{ см} = 15 \text{ см}^2$

3. Площадь грани со сторонами 4 см и 5 см:
$S_3 = 4 \text{ см} \times 5 \text{ см} = 20 \text{ см}^2$

Сравнив полученные значения площадей ($12 \text{ см}^2$, $15 \text{ см}^2$ и $20 \text{ см}^2$), мы видим, что наибольшая площадь равна $20 \text{ см}^2$. Эта грань образована двумя наибольшими измерениями параллелепипеда.

Ответ: $20 \text{ см}^2$.

5. Вычислите площадь поверхности куба с ребром 10 см.

Площадь поверхности куба – это сумма площадей всех его граней. Куб представляет собой правильный многогранник, каждая из шести граней которого является квадратом.

По условию задачи, длина ребра куба (которую обозначим как $a$) равна 10 см.

1. Вычисление площади одной грани.
Так как каждая грань куба – это квадрат со стороной, равной ребру куба, то площадь одной грани ($S_{грани}$) можно вычислить по формуле площади квадрата:
$S_{грани} = a^2$
Подставим известное значение длины ребра:
$S_{грани} = (10 \text{ см})^2 = 10 \text{ см} \times 10 \text{ см} = 100 \text{ см}^2$.

2. Вычисление общей площади поверхности куба.
У куба 6 одинаковых граней. Чтобы найти общую площадь поверхности ($S_{полная}$), нужно умножить площадь одной грани на количество граней:
$S_{полная} = 6 \times S_{грани}$
$S_{полная} = 6 \times 100 \text{ см}^2 = 600 \text{ см}^2$.

Таким образом, площадь поверхности куба с ребром 10 см составляет 600 квадратных сантиметров.

Ответ: $600 \text{ см}^2$.

6. Начертите:

а) куб;

б) треугольную пирамиду.

а) Чтобы начертить куб, можно следовать этим шагам, используя метод параллельного проецирования для создания объемного изображения на плоскости:

1. Начните с рисования квадрата. Это будет видимая передняя грань куба.
2. От каждой вершины этого квадрата проведите параллельные и равные по длине отрезки под одним и тем же углом (например, вверх и вправо).
3. Соедините концы этих отрезков. У вас получится второй квадрат, который является задней гранью куба.
4. Для наглядности и придания объёма, невидимые рёбра (те, что находятся сзади и снизу с точки зрения наблюдателя) следует изобразить пунктирными линиями.

Ответ:

б) Чтобы начертить треугольную пирамиду (тетраэдр), выполните следующие действия:

1. Нарисуйте треугольник в основании. Чтобы чертёж выглядел объёмным, изобразите его в перспективе, как будто он лежит на плоскости.
2. Выберите точку над плоскостью основания — это будет вершина (апекс) пирамиды.
3. Соедините вершину прямыми линиями (рёбрами) с каждой из трёх вершин основания.
4. Определите, какие рёбра будут невидимы с выбранной точки обзора (обычно это одно из рёбер основания, находящееся "сзади"), и начертите их пунктирной линией.

Ответ: