Страница 251 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Назовите несколько предметов, которые имеют форму пирамиды.

Найдите пирамиды на рисунках 10.2 и 10.8. Назовите их.

Сколько вершин у четырёхугольной пирамиды (см. рис. 10.43, в)? Сколько граней? Сколько рёбер?

Вычислите площадь и периметр основания пирамиды Хеопса.

а) б) Рис. 10.8

1

2

3

4

5

Рис. 10.2

а) б) Рис. 10.43

а) б) в) г)

Несколько предметов, которые имеют форму пирамиды: египетские пирамиды (например, пирамида Хеопса), крыши некоторых башен, детская игрушка-пирамидка, туристическая палатка, некоторые виды упаковок (например, для молока или сока), чайный пакетик-пирамидка.
Ответ: Египетские пирамиды, палатка, крыша башни, детская игрушка-пирамидка.

На рисунке 10.2 пирамидами являются фигуры а) и б). Фигура а) – это пятиугольная пирамида, так как в её основании лежит пятиугольник. Фигура б) – это треугольная пирамида (тетраэдр), так как в её основании лежит треугольник.
На рисунке 10.8 пирамидой является фигура под номером 2. Это четырёхугольная пирамида, в основании которой лежит четырёхугольник. Остальные фигуры не являются пирамидами: (1) - параллелепипед, (3) - октаэдр (две пирамиды, соединённые основаниями), (4) - шестиугольная призма, (5) - треугольная призма.
Ответ: На рис. 10.2 пирамиды – это а) пятиугольная пирамида и б) треугольная пирамида. На рис. 10.8 пирамида – это фигура 2, четырёхугольная пирамида.

Рассмотрим четырёхугольную пирамиду (например, на рис. 10.43, в).
Вершины: У пирамиды 4 вершины в основании и 1 вершина сверху (апекс). Общее количество вершин: $4 + 1 = 5$.
Грани: Пирамида состоит из 1 основания (четырёхугольник) и 4 боковых граней (треугольники). Общее количество граней: $1 + 4 = 5$.
Рёбра: У пирамиды 4 ребра в основании и 4 боковых ребра, соединяющих вершины основания с апексом. Общее количество рёбер: $4 + 4 = 8$.
Ответ: У четырёхугольной пирамиды 5 вершин, 5 граней и 8 рёбер.

Основание пирамиды Хеопса представляет собой квадрат. По историческим данным, длина стороны основания составляла примерно 230 метров. Используем это значение для расчётов.
Периметр основания ($P$) — это сумма длин всех его сторон. Для квадрата со стороной $a$ формула периметра: $P = 4a$.
$P = 4 \times 230 \text{ м} = 920 \text{ м}$.
Площадь основания ($S$) — для квадрата со стороной $a$ формула площади: $S = a^2$.
$S = (230 \text{ м})^2 = 52900 \text{ м}^2$.
Ответ: Периметр основания пирамиды Хеопса approximately равен 920 м, а площадь основания – 52900 м².

985 Ищем информацию Найдите информацию о других пирамидах Древнего Египта, о пирамидах американских племён майя и ацтеков.

Другие пирамиды Древнего Египта

Хотя пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина в Гизе являются самыми известными, в Египте существует более сотни других пирамид, построенных в разные периоды. Они демонстрируют эволюцию архитектурной мысли и строительных техник. Среди них выделяются:

Пирамида Джосера в Саккаре. Это древнейшее из сохранившихся в мире крупных каменных сооружений, построенное около 2650 года до н.э. архитектором Имхотепом для фараона Джосера. В отличие от гладких пирамид Гизы, она имеет ступенчатую форму, состоящую из шести поставленных друг на друга мастаб (гробниц в форме усечённой пирамиды). Её высота составляет около 62 метров.

Ломаная пирамида в Дахшуре. Построенная для фараона Снофру, эта пирамида уникальна своей формой. Её строительство началось под углом 54°, но на середине высоты угол наклона граней был изменён на 43°. Вероятно, это было сделано из-за опасений по поводу устойчивости конструкции. Эта пирамида является важным переходным этапом от ступенчатых к пирамидам с гладкими гранями.

Розовая (Красная) пирамида в Дахшуре. Это третья по высоте пирамида в Египте, также построенная для Снофру. Она считается первой в мире успешной попыткой возведения «истинной» пирамиды с ровными гранями. Своё название она получила из-за розоватого оттенка каменных блоков, который становится особенно заметным в лучах заходящего солнца.

Ответ: Помимо пирамид в Гизе, в Древнем Египте существуют и другие значимые пирамиды, такие как ступенчатая пирамида Джосера — первая каменная пирамида, а также Ломаная и Розовая пирамиды фараона Снофру, которые демонстрируют эволюцию строительства от ступенчатых к «истинным» пирамидам.

Пирамиды американских племён майя

Пирамиды цивилизации майя, процветавшей в Мезоамерике (современные Мексика, Гватемала, Белиз), кардинально отличались от египетских по своему назначению и внешнему виду. Они не были гробницами в чистом виде, а скорее храмовыми комплексами, центрами религиозной и общественной жизни. Их характерные черты — ступенчатая форма, крутые лестницы, ведущие к храму на вершине, и богатая отделка резьбой и барельефами.

Пирамида Кукулькана (Эль-Кастильо) в Чичен-Ице. Этот знаменитый храм посвящён богу в образе пернатого змея. Пирамида является своеобразным календарём: четыре лестницы имеют по 91 ступени, что в сумме с верхней платформой даёт 365 — число дней в году. В дни весеннего и осеннего равноденствия игра света и тени создаёт иллюзию ползущего по лестнице змея.

Храмы Тикаля. В древнем городе Тикаль (Гватемала) возвышаются несколько высочайших пирамид майя, например, Храм Великого Ягуара (Храм I). Эти сооружения имеют очень крутые склоны и увенчаны характерными «гребнями» на крышах храмов. Они служили усыпальницами для правителей и местами проведения важнейших ритуалов.

Пирамида Волшебника в Ушмале. Эта пирамида отличается от других своей необычной овальной формой в основании. Согласно легенде, она была построена за одну ночь. На самом деле её возводили в течение нескольких столетий, надстраивая новые структуры поверх старых.

Ответ: Пирамиды майя, такие как пирамида Кукулькана в Чичен-Ице или храмы Тикаля, представляли собой ступенчатые сооружения с храмом наверху, использовались для религиозных церемоний и часто имели астрономическое значение.

Пирамиды американских племён ацтеков

Ацтеки, создавшие могущественную империю в Центральной Мексике к XIV-XVI векам, унаследовали и развили традиции строительства пирамид от предшествовавших им культур. Их пирамиды, называемые «теокалли» (дом бога), были центрами огромных храмовых комплексов и местами проведения ритуалов, включая печально известные человеческие жертвоприношения.

Темпло Майор в Теночтитлане. Главный храм столицы ацтеков (на месте современного Мехико) был двойной пирамидой. На его вершине располагались два храма: один, окрашенный в красный цвет, был посвящён богу войны и солнца Уицилопочтли, а второй, синий, — богу дождя и плодородия Тлалоку. Пирамида многократно перестраивалась и расширялась, но была почти полностью разрушена испанскими конкистадорами.

Пирамиды Теотиуакана. Хотя город Теотиуакан был заброшен задолго до прихода ацтеков, они считали его священным местом, «где люди становятся богами». Грандиозные сооружения этого города — Пирамида Солнца (третья по величине в мире) и Пирамида Луны — были включены в мифологию ацтеков и служили образцом для их собственных построек. Пирамида Солнца имеет высоту около 65 метров, а длина её основания составляет примерно 225 метров.

Ответ: Ацтекские пирамиды, ярчайшим примером которых является Темпло Майор в Теночтитлане, служили центрами религиозной жизни и местом проведения ритуалов, включая массовые жертвоприношения. Они часто имели двойную структуру, посвященную разным богам.

986 Назовите каждую из пирамид, изображённых на рисунке 10.45, а – в. Назовите её основание и боковые грани. Начертите пирамиду в тетради.

Поскольку изображения к задаче (рисунок 10.45, а-в) не предоставлены, решение будет основано на наиболее распространенных примерах пирамид, которые обычно рассматриваются в школьном курсе геометрии: треугольной, четырехугольной и шестиугольной пирамидах.

а)

Предположим, на рисунке 10.45, а изображена треугольная пирамида (также ее называют тетраэдром). Обозначим ее вершину буквой S, а вершины основания — буквами A, B, C.

• Название пирамиды: Треугольная пирамида SABC.
• Основание: Основанием пирамиды является многоугольник, который не является боковой гранью. В данном случае это треугольник $ \triangle ABC $.
• Боковые грани: Боковые грани — это треугольники, которые имеют общую вершину (вершину пирамиды). У этой пирамиды три боковые грани: $ \triangle SAB $, $ \triangle SBC $ и $ \triangle SCA $.
• Как начертить в тетради: Начертите треугольник ABC. Затем выберите точку S над плоскостью треугольника и соедините ее отрезками с каждой вершиной основания (A, B, C). Ребра, которые не видны, изображаются штриховой линией.

Ответ: На рисунке "а" изображена треугольная пирамида. Ее основание — треугольник $ \triangle ABC $, боковые грани — треугольники $ \triangle SAB $, $ \triangle SBC $, $ \triangle SCA $.

б)

Предположим, на рисунке 10.45, б изображена четырехугольная пирамида. Обозначим ее вершину буквой S, а вершины основания — буквами A, B, C, D.

• Название пирамиды: Четырехугольная пирамида SABCD.
• Основание: Основанием является четырехугольник $ ABCD $.
• Боковые грани: Боковыми гранями являются четыре треугольника, сходящиеся в вершине S: $ \triangle SAB $, $ \triangle SBC $, $ \triangle SCD $ и $ \triangle SDA $.
• Как начертить в тетради: Для изображения основания в перспективе начертите параллелограмм ABCD. Выберите точку S (вершину) над основанием и соедините ее отрезками с вершинами A, B, C и D. Невидимые ребра (например, AD и CD) и боковое ребро (например, SD) изобразите штриховыми линиями.

Ответ: На рисунке "б" изображена четырехугольная пирамида. Ее основание — четырехугольник $ ABCD $, боковые грани — треугольники $ \triangle SAB $, $ \triangle SBC $, $ \triangle SCD $, $ \triangle SDA $.

в)

Предположим, на рисунке 10.45, в изображена шестиугольная пирамида. Обозначим ее вершину буквой S, а вершины основания — буквами A, B, C, D, E, F.

• Название пирамиды: Шестиугольная пирамида SABCDEF.
• Основание: Основанием является шестиугольник $ ABCDEF $.
• Боковые грани: Боковыми гранями являются шесть треугольников, сходящихся в вершине S: $ \triangle SAB $, $ \triangle SBC $, $ \triangle SCD $, $ \triangle SDE $, $ \triangle SEF $ и $ \triangle SFA $.
• Как начертить в тетради: Начертите шестиугольник ABCDEF в перспективе. Выберите точку S над его центром и соедините ее со всеми вершинами основания. Невидимые ребра основания и боковые ребра изобразите штриховыми линиями.

Ответ: На рисунке "в" изображена шестиугольная пирамида. Ее основание — шестиугольник $ ABCDEF $, боковые грани — треугольники $ \triangle SAB $, $ \triangle SBC $, $ \triangle SCD $, $ \triangle SDE $, $ \triangle SEF $, $ \triangle SFA $.

987 1) Сколько у пятиугольной пирамиды рёбер основания? боковых рёбер? всего рёбер? Сколько у неё боковых граней? всего граней? вершин? 2) Ответьте на те же вопросы для семиугольной пирамиды.

а) $M$ $B$ $C$ $A$ $D$

б) $O$ $B$ $C$ $A$ $M$ $K$ $D$

в) $B$ $C$ $A$ $D$

Рис. 10.45

1)

Для решения задачи воспользуемся общими свойствами n-угольной пирамиды, в основании которой лежит многоугольник с $n$ сторонами (n-угольник).

- Рёбра основания: их количество равно количеству сторон многоугольника в основании, то есть $n$.
- Боковые рёбра: их количество равно количеству вершин основания, так как каждая вершина основания соединена ребром с общей вершиной пирамиды. Следовательно, их тоже $n$.
- Всего рёбер: это сумма рёбер основания и боковых рёбер: $n + n = 2n$.
- Боковые грани: каждая сторона основания вместе с общей вершиной пирамиды образует треугольную грань. Таким образом, количество боковых граней равно $n$.
- Всего граней: это сумма боковых граней и одной грани основания: $n + 1$.
- Вершины: это $n$ вершин основания и одна общая вершина пирамиды, итого $n + 1$.

Теперь применим эти формулы для пятиугольной пирамиды, у которой в основании лежит пятиугольник, то есть $n=5$:

- Рёбер основания: $5$.
- Боковых рёбер: $5$.
- Всего рёбер: $2 \times 5 = 10$.
- Боковых граней: $5$.
- Всего граней: $5 + 1 = 6$.
- Вершин: $5 + 1 = 6$.

Ответ: у пятиугольной пирамиды 5 рёбер основания, 5 боковых рёбер, всего 10 рёбер, 5 боковых граней, всего 6 граней, 6 вершин.

2)

Аналогично найдём характеристики для семиугольной пирамиды, у которой в основании лежит семиугольник, то есть $n=7$:

- Рёбер основания: $7$.
- Боковых рёбер: $7$.
- Всего рёбер: $2 \times 7 = 14$.
- Боковых граней: $7$.
- Всего граней: $7 + 1 = 8$.
- Вершин: $7 + 1 = 8$.

Ответ: у семиугольной пирамиды 7 рёбер основания, 7 боковых рёбер, всего 14 рёбер, 7 боковых граней, всего 8 граней, 8 вершин.