Страница 247 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Рис. 10.36

964 МОДЕЛИРУЕМ

а) Вылепите из пластилина куб с ребром 1 см. Это кубический сантиметр. Возьмите какую-нибудь конфету и оцените на глаз, на сколько кубических сантиметров можно разрезать эту конфету (рис. 10.36, а). Выполните необходимые измерения (в см) и вычислите объём конфеты; сравните полученный результат с результатом оценки.

б) Изготовьте каркасную модель куба объёмом $1 \text{ дм}^3$. Как вы думаете, больше или меньше одного кубического дециметра составляет объём коробки с чайными пакетиками, измерения которой равны 6 см, 15 см, 16 см? Проверьте, выполнив вычисления.

в) Постройте в углу класса куб с ребром 1 м (рис. 10.36, б). Как вы думаете, каков объём вашего класса? Вычислите его, выполнив необходимые измерения.

а)

Эта задача является практической, и её решение зависит от размеров конкретной конфеты. Проведём решение на примере конфеты, имеющей форму прямоугольного параллелепипеда.

1. Оценка. Сначала оценим объём конфеты на глаз, сравнивая её с кубическим сантиметром (кубиком с ребром 1 см). Предположим, что в конфете поместится примерно 10-12 таких кубиков. Таким образом, наша оценка объёма — $10-12 \text{ см}^3$.

2. Измерение и вычисление. Теперь выполним измерения с помощью линейки. Допустим, измерения конфеты составили: длина $a = 5 \text{ см}$, ширина $b = 2 \text{ см}$, высота $c = 1,2 \text{ см}$.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$. Подставим наши значения:
$V = 5 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} \cdot 1,2 \text{ см} = 10 \text{ см}^2 \cdot 1,2 \text{ см} = 12 \text{ см}^3$.

3. Сравнение. Вычисленный объём ($12 \text{ см}^3$) совпадает с верхней границей нашей первоначальной оценки ($10-12 \text{ см}^3$). Это говорит о том, что оценка была достаточно точной.

Ответ: объём конфеты, вычисленный по приведённым измерениям, равен $12 \text{ см}^3$.

б)

Чтобы ответить на вопрос, нужно сравнить объём коробки с объёмом куба в $1 \text{ дм}^3$. Сначала переведём кубические дециметры в кубические сантиметры.

В одном дециметре 10 сантиметров ($1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$). Следовательно, объём куба с ребром 1 дм равен:
$V_{\text{куба}} = 1 \text{ дм}^3 = (10 \text{ см})^3 = 1000 \text{ см}^3$.

Теперь вычислим объём коробки с чайными пакетиками. Коробка представляет собой прямоугольный параллелепипед с измерениями $6 \text{ см}$, $15 \text{ см}$ и $16 \text{ см}$. Её объём $V_{\text{коробки}}$ равен произведению этих измерений:
$V_{\text{коробки}} = 6 \text{ см} \cdot 15 \text{ см} \cdot 16 \text{ см} = 90 \text{ см}^2 \cdot 16 \text{ см} = 1440 \text{ см}^3$.

Сравним полученные объёмы:
$1440 \text{ см}^3 > 1000 \text{ см}^3$.

Таким образом, объём коробки больше одного кубического дециметра.

Ответ: объём коробки с чайными пакетиками больше одного кубического дециметра.

в)

Для вычисления объёма класса необходимо измерить его длину, ширину и высоту. Так как это практическая задача, а реальные размеры нам неизвестны, воспользуемся типичными размерами для школьного класса.

Допустим, после измерений мы получили следующие данные:
Длина класса $a = 9 \text{ м}$.
Ширина класса $b = 6 \text{ м}$.
Высота класса $c = 3 \text{ м}$.

Классная комната имеет форму прямоугольного параллелепипеда, поэтому её объём $V_{\text{класса}}$ вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.
$V_{\text{класса}} = 9 \text{ м} \cdot 6 \text{ м} \cdot 3 \text{ м} = 54 \text{ м}^2 \cdot 3 \text{ м} = 162 \text{ м}^3$.

Куб с ребром 1 м имеет объём $1 \text{ м}^3$. Это значит, что в объёме нашего гипотетического класса поместится 162 таких куба.

Ответ: объём класса при размерах $9 \times 6 \times 3$ метра равен $162 \text{ м}^3$.

965 Возьмите какую-нибудь коробочку, проведите необходимые измерения (в мм) и определите её объём.

Для выполнения этого задания необходимо взять любую коробку, имеющую форму прямоугольного параллелепипеда, и измерить её длину, ширину и высоту. Объём такой фигуры вычисляется по формуле:

$V = a \cdot b \cdot c$

где $V$ – объём, $a$ – длина, $b$ – ширина, а $c$ – высота.

В качестве примера возьмём гипотетическую коробку (например, из-под сока) и проведём её измерения в миллиметрах (мм) с помощью линейки.

Предположим, что измерения дали следующие результаты:

• Длина ($a$): 100 мм
• Ширина ($b$): 60 мм
• Высота ($c$): 180 мм

Теперь, используя формулу, рассчитаем её объём:

$V = 100 \text{ мм} \cdot 60 \text{ мм} \cdot 180 \text{ мм}$

Выполним вычисления по порядку:

$100 \cdot 60 = 6000$

$6000 \cdot 180 = 1080000$

Таким образом, объём нашей коробки составляет 1 080 000 кубических миллиметров (мм³).

Важно: ваш результат будет зависеть от размеров той коробки, которую вы измерите. Описанный выше пример является лишь иллюстрацией выполнения задания.

Ответ: Объём коробки с размерами 100 мм, 60 мм и 180 мм равен 1 080 000 мм³.

966 АНАЛИЗИРУЕМ

1) Из кубиков с ребром 5 см сложили параллелепипед (рис. 10.37, а). Определите его измерения и объём.

Указание. Вычислите объём двумя способами: а) сложив объёмы кубиков; б) перемножив измерения параллелепипеда.

Рис. 10.37

2) Одинаковые бруски, из которых сложен параллелепипед, имеют измерения 8 см, 4 см, 2 см (рис. 10.37, б). Найдите объём параллелепипеда.

Указание. Вычислите объём двумя способами: а) сложив объёмы соответствующих брусков; б) перемножив измерения параллелепипеда.

1)

Сначала определим измерения параллелепипеда. Он сложен из кубиков с ребром 5 см. По рисунку 10.37, а) его измерения составляют:

• Длина $a$: 4 кубика $\cdot$ 5 см = 20 см.
• Ширина $b$: 3 кубика $\cdot$ 5 см = 15 см.
• Высота $c$: 2 кубика $\cdot$ 5 см = 10 см.

Теперь вычислим объём двумя способами, как указано в задании.

а) Вычислим объём, сложив объёмы всех кубиков.

1. Найдём объём одного кубика ($V_{кубика}$):

$V_{кубика} = 5^3 = 125$ см³.

2. Найдём общее количество кубиков ($N$) в параллелепипеде:

$N = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$.

3. Общий объём ($V$) равен произведению количества кубиков на объём одного кубика:

$V = N \cdot V_{кубика} = 24 \cdot 125 = 3000$ см³.

б) Вычислим объём, перемножив измерения параллелепипеда.

Используя формулу объёма $V = a \cdot b \cdot c$:

$V = 20 \cdot 15 \cdot 10 = 3000$ см³.

Ответ: измерения параллелепипеда — 20 см, 15 см, 10 см; объём — 3000 см³.

2)

Параллелепипед сложен из 4 одинаковых брусков с измерениями 8 см, 4 см, 2 см. Найдём его объём двумя способами.

а) Вычислим объём, сложив объёмы всех брусков.

1. Найдём объём одного бруска ($V_{бруска}$):

$V_{бруска} = 8 \cdot 4 \cdot 2 = 64$ см³.

2. Общий объём ($V$) равен произведению количества брусков (4) на объём одного бруска:

$V = 4 \cdot V_{бруска} = 4 \cdot 64 = 256$ см³.

б) Вычислим объём, перемножив измерения параллелепипеда.

1. Сначала определим измерения всего параллелепипеда по рисунку 10.37, б). Из рисунка видно, что фигура составлена из 4 брусков по схеме: 2 бруска в ширину, 1 брусок в глубину и 2 бруска в высоту. Чтобы пропорции соответствовали рисунку (высокая фигура, у которой ширина больше глубины), измерения отдельных брусков нужно расположить так: ширина - 4 см, глубина - 2 см, высота - 8 см.

2. Тогда измерения всего параллелепипеда будут:

• Ширина $a = 2 \cdot 4 = 8$ см.
• Глубина $b = 1 \cdot 2 = 2$ см.
• Высота $c = 2 \cdot 8 = 16$ см.

3. Найдём объём ($V$) как произведение измерений: $V = a \cdot b \cdot c$.

$V = 8 \cdot 2 \cdot 16 = 256$ см³.

Ответ: объём параллелепипеда — 256 см³.

967 Выразите:

а) в кубических дециметрах: $1 \text{ м}^3$, $4 \text{ м}^3$, $42 \text{ м}^3$;

б) в кубических сантиметрах: $1 \text{ дм}^3$, $3 \text{ дм}^3$, $2 \text{ м}^3$;

в) в кубических миллиметрах: $1 \text{ см}^3$, $5 \text{ см}^3$, $3 \text{ дм}^3$.

а) в кубических дециметрах

Чтобы выразить кубические метры ($м^3$) в кубических дециметрах ($дм^3$), вспомним соотношение линейных единиц. В одном метре содержится 10 дециметров.

$1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$

Для перевода единиц объема (кубических) необходимо возвести это соотношение в третью степень:

$1 \text{ м}^3 = (10 \text{ дм})^3 = 10 \times 10 \times 10 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ дм}^3$

Теперь, используя это соотношение, переведем заданные значения:

• $1 \text{ м}^3 = 1 \times 1000 \text{ дм}^3 = 1000 \text{ дм}^3$
• $4 \text{ м}^3 = 4 \times 1000 \text{ дм}^3 = 4000 \text{ дм}^3$
• $42 \text{ м}^3 = 42 \times 1000 \text{ дм}^3 = 42000 \text{ дм}^3$

Ответ: $1000 \text{ дм}^3$; $4000 \text{ дм}^3$; $42000 \text{ дм}^3$.

б) в кубических сантиметрах

Для перевода в кубические сантиметры ($см^3$) нам понадобятся следующие соотношения:

1. Из дециметров в сантиметры: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см}$.

В кубических единицах: $1 \text{ дм}^3 = (10 \text{ см})^3 = 1000 \text{ см}^3$.

2. Из метров в сантиметры: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.

В кубических единицах: $1 \text{ м}^3 = (100 \text{ см})^3 = 1\;000\;000 \text{ см}^3$.

Теперь выполним преобразования для заданных значений:

• $1 \text{ дм}^3 = 1 \times 1000 \text{ см}^3 = 1000 \text{ см}^3$
• $3 \text{ дм}^3 = 3 \times 1000 \text{ см}^3 = 3000 \text{ см}^3$
• $2 \text{ м}^3 = 2 \times 1\;000\;000 \text{ см}^3 = 2\;000\;000 \text{ см}^3$

Ответ: $1000 \text{ см}^3$; $3000 \text{ см}^3$; $2\;000\;000 \text{ см}^3$.

в) в кубических миллиметрах

Для перевода в кубические миллиметры ($мм^3$) используем следующие соотношения:

1. Из сантиметров в миллиметры: $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$.

В кубических единицах: $1 \text{ см}^3 = (10 \text{ мм})^3 = 1000 \text{ мм}^3$.

2. Из дециметров в миллиметры: $1 \text{ дм} = 10 \text{ см} = 100 \text{ мм}$.

В кубических единицах: $1 \text{ дм}^3 = (100 \text{ мм})^3 = 1\;000\;000 \text{ мм}^3$.

Теперь выполним преобразования для заданных значений:

• $1 \text{ см}^3 = 1 \times 1000 \text{ мм}^3 = 1000 \text{ мм}^3$
• $5 \text{ см}^3 = 5 \times 1000 \text{ мм}^3 = 5000 \text{ мм}^3$
• $3 \text{ дм}^3 = 3 \times 1\;000\;000 \text{ мм}^3 = 3\;000\;000 \text{ мм}^3$

Ответ: $1000 \text{ мм}^3$; $5000 \text{ мм}^3$; $3\;000\;000 \text{ мм}^3$.

968. Заполните пропуски:

$1 \text{ м } 25 \text{ см } = \dots \text{ см}$; $1 \text{ м}^2 25 \text{ см}^2 = \dots \text{ см}^2$; $1 \text{ м}^3 25 \text{ см}^3 = \dots \text{ см}^3$.

1 м 25 см = ... см

Для решения этой задачи необходимо перевести метры в сантиметры и сложить с уже имеющимися сантиметрами. В одном метре содержится 100 сантиметров.

Соотношение единиц длины:

$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$

Следовательно, выражение $1 \text{ м } 25 \text{ см}$ можно рассчитать следующим образом:

$1 \text{ м } 25 \text{ см} = 1 \cdot 100 \text{ см} + 25 \text{ см} = 100 \text{ см} + 25 \text{ см} = 125 \text{ см}$

Ответ: 125.

1 м² 25 см² = ... см²

Здесь необходимо перевести квадратные метры в квадратные сантиметры. Поскольку $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, то для нахождения соотношения единиц площади нужно возвести это равенство в квадрат:

$1 \text{ м}^2 = (1 \text{ м}) \cdot (1 \text{ м}) = (100 \text{ см}) \cdot (100 \text{ см}) = 10000 \text{ см}^2$

Теперь сложим значения:

$1 \text{ м}^2 25 \text{ см}^2 = 1 \cdot 10000 \text{ см}^2 + 25 \text{ см}^2 = 10000 \text{ см}^2 + 25 \text{ см}^2 = 10025 \text{ см}^2$

Ответ: 10025.

1 м³ 25 см³ = ... см³

В этом случае нужно перевести кубические метры в кубические сантиметры. Используя соотношение $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, найдем соотношение для единиц объема, возведя равенство в куб:

$1 \text{ м}^3 = (1 \text{ м}) \cdot (1 \text{ м}) \cdot (1 \text{ м}) = (100 \text{ см}) \cdot (100 \text{ см}) \cdot (100 \text{ см}) = 1000000 \text{ см}^3$

Теперь выполним сложение:

$1 \text{ м}^3 25 \text{ см}^3 = 1 \cdot 1000000 \text{ см}^3 + 25 \text{ см}^3 = 1000000 \text{ см}^3 + 25 \text{ см}^3 = 1000025 \text{ см}^3$

Ответ: 1000025.