Номер 978, страница 249 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Глава 10. Многогранники. 10.3. Объём параллелепипеда - номер 978, страница 249.

Условие.

978 Бруски размером 2 см, 4 см, 8 см сложили штабелем (рис. 10.41). Каковы размеры штабеля? Сколько в нём брусков? Каков его объём?

Рис. 10.41

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Для решения задачи необходимо последовательно ответить на три вопроса, основываясь на данных и изображении.

Данные:

• Размеры одного бруска: 2 см, 4 см, 8 см.

Каковы размеры штабеля?

Чтобы определить размеры штабеля, проанализируем его конструкцию по рисунку.

1. Высота. Штабель состоит из 4 слоев брусков. Каждый брусок лежит плашмя, поэтому высота одного слоя равна наименьшему размеру бруска — 2 см. Общая высота штабеля составляет:
   $4 \times 2 \text{ см} = 8 \text{ см}$.
2. Ширина. Фронтальная сторона штабеля в каждом слое состоит из двух брусков, уложенных рядом. В зависимости от ориентации, ширина составлена либо из двух сторон по 4 см ($4 + 4 = 8$ см), либо из одной стороны длиной 8 см. В обоих случаях общая ширина штабеля равна 8 см.
3. Глубина. Глубина штабеля также равна 8 см. В слоях, где бруски уложены вдоль, их длина 8 см образует глубину. В слоях, где они уложены поперек, глубина складывается из ширины двух брусков: $4 \text{ см} + 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Таким образом, штабель представляет собой куб со стороной 8 см.

Ответ: Размеры штабеля — 8 см × 8 см × 8 см.

Сколько в нём брусков?

Количество брусков можно определить, разделив общий объём штабеля на объём одного бруска.

1. Вычислим объём одного бруска ($V_{бруска}$):
   $V_{бруска} = 2 \text{ см} \times 4 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 64 \text{ см}^3$.
2. Вычислим общий объём всего штабеля ($V_{штабеля}$), используя найденные ранее размеры:
   $V_{штабеля} = 8 \text{ см} \times 8 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 512 \text{ см}^3$.
3. Найдём количество брусков ($N$), разделив объём штабеля на объём бруска:
   $N = \frac{V_{штабеля}}{V_{бруска}} = \frac{512 \text{ см}^3}{64 \text{ см}^3} = 8$.

Проверка: в каждом слое размером 8×8 см уложено по 2 бруска (площадь основания бруска $4 \times 8 = 32 \text{ см}^2$; $2 \times 32 = 64 \text{ см}^2$). Всего 4 слоя. Итого: $4 \times 2 = 8$ брусков.

Ответ: В штабеле 8 брусков.

Каков его объём?

Объём прямоугольного параллелепипеда (и куба в частности) равен произведению его длины, ширины и высоты. Мы уже определили, что размеры штабеля составляют 8 см, 8 см и 8 см.

Вычислим объём штабеля ($V$):
$V = 8 \text{ см} \times 8 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 8^3 \text{ см}^3 = 512 \text{ см}^3$.

Этот же результат можно получить, умножив объём одного бруска на их общее количество:
$V = V_{бруска} \times N = 64 \text{ см}^3 \times 8 = 512 \text{ см}^3$.

Ответ: Объём штабеля равен 512 см³.