Номер 978, страница 249 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

10.3. Объём параллелепипеда. Глава 10. Многогранники - номер 978, страница 249.

978 Бруски размером 2 см, 4 см, 8 см сложили штабелем (рис. 10.41). Каковы размеры штабеля? Сколько в нём брусков? Каков его объём?

Рис. 10.41

Для решения задачи необходимо последовательно ответить на три вопроса, основываясь на данных и изображении.

Данные:

• Размеры одного бруска: 2 см, 4 см, 8 см.

Каковы размеры штабеля?

Чтобы определить размеры штабеля, проанализируем его конструкцию по рисунку.

1. Высота. Штабель состоит из 4 слоев брусков. Каждый брусок лежит плашмя, поэтому высота одного слоя равна наименьшему размеру бруска — 2 см. Общая высота штабеля составляет:
   $4 \times 2 \text{ см} = 8 \text{ см}$.
2. Ширина. Фронтальная сторона штабеля в каждом слое состоит из двух брусков, уложенных рядом. В зависимости от ориентации, ширина составлена либо из двух сторон по 4 см ($4 + 4 = 8$ см), либо из одной стороны длиной 8 см. В обоих случаях общая ширина штабеля равна 8 см.
3. Глубина. Глубина штабеля также равна 8 см. В слоях, где бруски уложены вдоль, их длина 8 см образует глубину. В слоях, где они уложены поперек, глубина складывается из ширины двух брусков: $4 \text{ см} + 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Таким образом, штабель представляет собой куб со стороной 8 см.

Ответ: Размеры штабеля — 8 см × 8 см × 8 см.

Сколько в нём брусков?

Количество брусков можно определить, разделив общий объём штабеля на объём одного бруска.

1. Вычислим объём одного бруска ($V_{бруска}$):
   $V_{бруска} = 2 \text{ см} \times 4 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 64 \text{ см}^3$.
2. Вычислим общий объём всего штабеля ($V_{штабеля}$), используя найденные ранее размеры:
   $V_{штабеля} = 8 \text{ см} \times 8 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 512 \text{ см}^3$.
3. Найдём количество брусков ($N$), разделив объём штабеля на объём бруска:
   $N = \frac{V_{штабеля}}{V_{бруска}} = \frac{512 \text{ см}^3}{64 \text{ см}^3} = 8$.

Проверка: в каждом слое размером 8×8 см уложено по 2 бруска (площадь основания бруска $4 \times 8 = 32 \text{ см}^2$; $2 \times 32 = 64 \text{ см}^2$). Всего 4 слоя. Итого: $4 \times 2 = 8$ брусков.

Ответ: В штабеле 8 брусков.

Каков его объём?

Объём прямоугольного параллелепипеда (и куба в частности) равен произведению его длины, ширины и высоты. Мы уже определили, что размеры штабеля составляют 8 см, 8 см и 8 см.

Вычислим объём штабеля ($V$):
$V = 8 \text{ см} \times 8 \text{ см} \times 8 \text{ см} = 8^3 \text{ см}^3 = 512 \text{ см}^3$.

Этот же результат можно получить, умножив объём одного бруска на их общее количество:
$V = V_{бруска} \times N = 64 \text{ см}^3 \times 8 = 512 \text{ см}^3$.

Ответ: Объём штабеля равен 512 см³.