Номер 975, страница 248 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

10.3. Объём параллелепипеда. Глава 10. Многогранники - номер 975, страница 248.

975 Найдите объём многогранника (рис. 10.40, а–в).

Подсказка. Достройте мысленно многогранник до параллелепипеда.

а) Длина внешней части: $20 \text{ см}$. Ширина внешней части: $12 \text{ см}$. Высота: $2 \text{ см}$.

Длина внутреннего выреза: $12 \text{ см}$. Ширина внутреннего выреза: $8 \text{ см}$.

б) Длина: $20 \text{ см}$.

Ширина: $18 \text{ см}$ (нижняя часть), $8 \text{ см}$ (верхняя часть).

Высота: $12 \text{ см}$ (нижняя часть), $21 \text{ см}$ (общая высота).

в) Габаритные размеры: длина $6 \text{ дм}$, ширина $7 \text{ дм}$, высота $5 \text{ дм}$.

Размеры выреза: длина $3 \text{ дм}$, ширина $4 \text{ дм}$, высота $2 \text{ дм}$.

Рис. 10.40

Для решения всех задач воспользуемся подсказкой: мысленно достроим каждую фигуру до прямоугольного параллелепипеда и вычтем объём "лишних" частей.

а)

Данный многогранник представляет собой прямоугольный параллелепипед с прямоугольным отверстием. Его объём можно найти как разность объёмов внешнего (большого) и внутреннего (малого) параллелепипедов.

1. Найдём объём внешнего параллелепипеда ($V_{внеш}$). Его измерения: длина 20 см, ширина 12 см, высота 2 см.

$V_{внеш} = 20 \cdot 12 \cdot 2 = 480$ см³.

2. Найдём объём внутреннего параллелепипеда (отверстия) ($V_{внутр}$). Согласно рисунку, его измерения: длина 12 см, ширина 8 см, высота 2 см.

$V_{внутр} = 12 \cdot 8 \cdot 2 = 192$ см³.

3. Вычтем из объёма внешнего параллелепипеда объём внутреннего, чтобы найти объём фигуры ($V$).

$V = V_{внеш} - V_{внутр} = 480 - 192 = 288$ см³.

Ответ: 288 см³.

б)

Этот многогранник можно представить как большой прямоугольный параллелепипед, из которого вырезали меньший. Другой способ — разбить его на два параллелепипеда и сложить их объёмы. Воспользуемся первым способом (вычитанием).

1. Достроим фигуру до большого параллелепипеда ($V_{большой}$). Его измерения будут: длина 20 см, ширина 18 см, высота 21 см.

$V_{большой} = 20 \cdot 18 \cdot 21 = 360 \cdot 21 = 7560$ см³.

2. Найдём размеры и объём вырезанной части ($V_{вырез}$). Её длина равна 20 см. Ширина равна $18 - 8 = 10$ см. Высота равна $21 - 12 = 9$ см.

$V_{вырез} = 20 \cdot 10 \cdot 9 = 1800$ см³.

3. Найдём объём исходного многогранника ($V$), вычитая объём вырезанной части из объёма большого параллелепипеда.

$V = V_{большой} - V_{вырез} = 7560 - 1800 = 5760$ см³.

Ответ: 5760 см³.

в)

Данная фигура — это большой прямоугольный параллелепипед, из которого вырезан угловой кусок, также имеющий форму прямоугольного параллелепипеда.

1. Найдём объём большого (полного) параллелепипеда ($V_{полный}$), если бы он был целым. Его измерения: длина 6 дм, ширина 7 дм, высота 5 дм.

$V_{полный} = 6 \cdot 7 \cdot 5 = 210$ дм³.

2. Найдём объём вырезанного параллелепипеда ($V_{вырез}$). Его измерения: длина 3 дм, ширина 4 дм, высота 2 дм.

$V_{вырез} = 3 \cdot 4 \cdot 2 = 24$ дм³.

3. Объём искомого многогранника ($V$) равен разности объёмов полного и вырезанного параллелепипедов.

$V = V_{полный} - V_{вырез} = 210 - 24 = 186$ дм³.

Ответ: 186 дм³.