Страница 237 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

932 МОДЕЛИРУЕМ

Взяли три равных проволочных квадрата и спаяли их в вершинах так, что получилась каркасная модель многогранника (рис. 10.12). Найдите эти квадраты на рисунке и назовите их. Сколько квадратов соединяли в каждой вершине многогранника? Возьмите проволочные квадраты и попробуйте сложить из них этот многогранник.

Рис. 10.12

Найдите эти квадраты на рисунке и назовите их. На рисунке изображена каркасная модель правильного многогранника — октаэдра. Три равных проволочных квадрата, из которых он спаян, являются его диагональными сечениями. Эти квадраты проходят через центр многогранника и взаимно перпендикулярны. Их можно назвать по вершинам:
1. Квадрат, проходящий через вершины A, D, C, B. Название: ADCB.
2. Квадрат, проходящий через вершины A, E, C, K. Название: AECK.
3. Квадрат, проходящий через вершины E, D, K, B. Название: EDKB.
Ответ: ADCB, AECK, EDKB.

Сколько квадратов соединяли в каждой вершине многогранника? В каждой вершине данного многогранника соединяются два квадрата. Можно проверить это для каждой из шести вершин:
- В вершине A соединяются квадраты ADCB и AECK.
- В вершине C соединяются квадраты ADCB и AECK.
- В вершине E соединяются квадраты AECK и EDKB.
- В вершине K соединяются квадраты AECK и EDKB.
- В вершине D соединяются квадраты ADCB и EDKB.
- В вершине B соединяются квадраты ADCB и EDKB.
Таким образом, в каждой вершине соединяются ровно два квадрата.
Ответ: 2.

Возьмите проволочные квадраты и попробуйте сложить из них этот многогранник. Для того чтобы сложить модель этого многогранника (октаэдра) из трех равных проволочных квадратов, нужно выполнить следующие действия:
1. Возьмите два квадрата, например, AECK и ADCB. У них есть две общие вершины: A и C. Расположите эти квадраты перпендикулярно друг другу так, чтобы они пересекались по общей диагонали AC, и спаяйте их в вершинах A и C.
2. Возьмите третий квадрат, EDKB, и расположите его перпендикулярно первым двум.
3. Припаяйте две его противоположные вершины, E и K, к свободным вершинам квадрата AECK.
4. Две другие противоположные вершины третьего квадрата, D и B, припаяйте к свободным вершинам квадрата ADCB.
В результате получится каркасная модель, изображенная на рисунке, где все три квадрата попарно соединены в двух вершинах.
Ответ: Процесс сборки описан выше.

933 Найдите значение выражения $\frac{5}{6} + \frac{5}{18} - \left(3\frac{7}{9} - 2\frac{13}{15}\right)$.

Для нахождения значения выражения $\frac{5}{6} + \frac{5}{18} - (3\frac{7}{9} - 2\frac{13}{15})$ необходимо выполнить действия по порядку: сначала действие в скобках, а затем сложение и вычитание.

1. Выполним вычитание в скобках: $3\frac{7}{9} - 2\frac{13}{15}$

Чтобы вычесть смешанные числа, приведем их дробные части к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 9 и 15 равно 45.
Приводим дроби к знаменателю 45:
$3\frac{7}{9} = 3\frac{7 \cdot 5}{9 \cdot 5} = 3\frac{35}{45}$
$2\frac{13}{15} = 2\frac{13 \cdot 3}{15 \cdot 3} = 2\frac{39}{45}$
Теперь выражение в скобках выглядит так: $3\frac{35}{45} - 2\frac{39}{45}$.
Поскольку дробная часть уменьшаемого ($\frac{35}{45}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{39}{45}$), необходимо "занять" единицу у целой части уменьшаемого.
$3\frac{35}{45} = 2 + 1 + \frac{35}{45} = 2 + \frac{45}{45} + \frac{35}{45} = 2\frac{80}{45}$
Теперь можно выполнить вычитание:
$2\frac{80}{45} - 2\frac{39}{45} = (2-2) + (\frac{80}{45} - \frac{39}{45}) = 0 + \frac{80-39}{45} = \frac{41}{45}$

2. Выполним сложение дробей: $\frac{5}{6} + \frac{5}{18}$

Приведем дроби к общему знаменателю. НОК для 6 и 18 равно 18.
$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = \frac{15}{18}$
Складываем дроби:
$\frac{15}{18} + \frac{5}{18} = \frac{15+5}{18} = \frac{20}{18}$
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$\frac{20}{18} = \frac{10}{9}$

3. Выполним последнее действие и найдем значение всего выражения

Подставим результаты предыдущих действий в исходное выражение. Вместо суммы дробей подставим $\frac{10}{9}$, а вместо выражения в скобках — $\frac{41}{45}$.
$\frac{10}{9} - \frac{41}{45}$
Приведем дроби к общему знаменателю 45.
$\frac{10}{9} = \frac{10 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{50}{45}$
Выполним вычитание:
$\frac{50}{45} - \frac{41}{45} = \frac{50-41}{45} = \frac{9}{45}$
Сократим итоговую дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 9:
$\frac{9 \div 9}{45 \div 9} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$.

934 Назовите какие-нибудь три дроби, заключённые между числами $\frac{1}{5}$ и $\frac{1}{2}$. Изобразите все пять дробей точками на координатной прямой, выбрав подходящий единичный отрезок.

Назовите какие-нибудь три дроби, заключённые между числами $ \frac{1}{5} $ и $ \frac{1}{2} $.

Чтобы найти дроби, расположенные между двумя данными дробями, необходимо привести их к общему знаменателю. Для дробей $ \frac{1}{5} $ и $ \frac{1}{2} $ наименьшим общим знаменателем является 10.

$ \frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{2}{10} $

$ \frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = \frac{5}{10} $

Между дробями $ \frac{2}{10} $ и $ \frac{5}{10} $ находятся дроби с числителями 3 и 4: $ \frac{3}{10} $ и $ \frac{4}{10} $. Это только две дроби, а по условию задачи требуется найти три.

Чтобы найти больше дробей, выберем другой, больший общий знаменатель. Умножим числитель и знаменатель каждой дроби на 2, получив общий знаменатель 20.

$ \frac{1}{5} = \frac{2}{10} = \frac{2 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{4}{20} $

$ \frac{1}{2} = \frac{5}{10} = \frac{5 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{10}{20} $

Теперь нужно найти три дроби, заключённые между $ \frac{4}{20} $ и $ \frac{10}{20} $. В качестве числителей можно взять любые целые числа от 5 до 9. Например, возьмём числители 5, 6 и 7.

Получим следующие дроби: $ \frac{5}{20} $, $ \frac{6}{20} $ и $ \frac{7}{20} $.

Ответ: Три дроби, заключённые между $ \frac{1}{5} $ и $ \frac{1}{2} $, — это, например, $ \frac{5}{20} $, $ \frac{6}{20} $ и $ \frac{7}{20} $.

Изобразите все пять дробей точками на координатной прямой, выбрав подходящий единичный отрезок.

Для изображения на координатной прямой возьмём исходные дроби ($ \frac{1}{5} $ и $ \frac{1}{2} $) и найденные нами три дроби ($ \frac{5}{20} $, $ \frac{6}{20} $, $ \frac{7}{20} $). Для удобства расположения на прямой представим все дроби с единым знаменателем 20:

• $ \frac{1}{5} = \frac{4}{20} $
• $ \frac{5}{20} $
• $ \frac{6}{20} $
• $ \frac{7}{20} $
• $ \frac{1}{2} = \frac{10}{20} $

Выберем единичный отрезок и разделим его на 20 равных частей. Каждая часть будет соответствовать $ \frac{1}{20} $. Затем отметим точки, соответствующие нашим дробям.

Ответ: Изображение пяти дробей на координатной прямой представлено на рисунке выше.

935 Две моторные лодки одновременно отправляются по озеру навстречу друг другу от двух пристаней. Одна идёт со скоростью $20 \text{ км/ч}$, а другая – со скоростью $24 \text{ км/ч}$. Через сколько часов они встретятся, если расстояние между пристанями равно:

а) $88 \text{ км}$;

б) $132 \text{ км}$?

Для решения этой задачи необходимо сначала найти скорость сближения двух моторных лодок. Так как они движутся навстречу друг другу, их общая скорость сближения равна сумме их индивидуальных скоростей.

Скорость первой лодки $v_1 = 20$ км/ч.

Скорость второй лодки $v_2 = 24$ км/ч.

Скорость сближения $v_{сбл}$ вычисляется по формуле:

$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 20 + 24 = 44$ км/ч.

Это означает, что за каждый час расстояние между лодками сокращается на 44 км.

Чтобы найти время встречи ($t$), нужно разделить начальное расстояние ($S$) на скорость сближения ($v_{сбл}$):

$t = S / v_{сбл}$

Теперь рассчитаем время для каждого из предложенных вариантов.

а)

Расстояние между пристанями $S = 88$ км.

Подставим значения в формулу:

$t = 88 \text{ км} / 44 \text{ км/ч} = 2$ часа.

Ответ: лодки встретятся через 2 часа.

б)

Расстояние между пристанями $S = 132$ км.

Подставим значения в формулу:

$t = 132 \text{ км} / 44 \text{ км/ч} = 3$ часа.

Ответ: лодки встретятся через 3 часа.

936 Чтобы наносить воду из колодца 7-литровым ведром и заполнить бочку вместимостью 140 л, мальчику потребовалось 60 мин. Сколько времени ему понадобится на эту работу, если он возьмёт два пятилитровых ведра?

Для решения этой задачи нужно последовательно выполнить несколько действий. Мы предположим, что время, затрачиваемое на один поход к колодцу и обратно, не зависит от размера ведра.

1. Сначала определим, сколько раз мальчику пришлось сходить к колодцу, чтобы наполнить бочку 7-литровым ведром. Для этого разделим вместимость бочки на объём ведра:
$140 \text{ л} \div 7 \text{ л} = 20$ (походов).

2. Теперь вычислим, сколько времени занимает один такой поход. Для этого разделим общее затраченное время на количество походов:
$60 \text{ мин} \div 20 \text{ походов} = 3$ (минуты на один поход).

3. Далее определим, сколько воды мальчик будет приносить за один поход, если он возьмёт два пятилитровых ведра:
$2 \times 5 \text{ л} = 10 \text{ л}$.

4. Теперь узнаем, сколько походов потребуется сделать, чтобы наполнить бочку, принося по 10 литров за раз:
$140 \text{ л} \div 10 \text{ л} = 14$ (походов).

5. Наконец, рассчитаем общее время для выполнения этой работы. Умножим новое количество походов на время одного похода:
$14 \text{ походов} \times 3 \text{ мин} = 42$ (минуты).

Ответ: 42 минуты.