Номер 995, страница 253 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

10.4. Пирамида. Глава 10. Многогранники - номер 995, страница 253.

995 РАССУЖДАЕМ

1) У пирамиды 1883 вершины. Сколько вершин в основании этой пирамиды?

2) У пирамиды 1800 рёбер. Какая это пирамида?

3) У пирамиды 28 граней. Сколько у неё вершин?

4) Существует ли пирамида, у которой 1999 рёбер?

5) Сумма числа рёбер и числа вершин пирамиды равна 25. Какая это пирамида?

6) Сумма числа вершин, рёбер и граней пирамиды равна 26. Какая это пирамида?

Для решения всех задач воспользуемся общими формулами для n-угольной пирамиды (пирамиды, в основании которой лежит n-угольник):

• Число вершин: $В = n + 1$ (n вершин в основании + 1 вершина-апекс)
• Число рёбер: $Р = 2n$ (n рёбер в основании + n боковых рёбер)
• Число граней: $Г = n + 1$ (1 грань-основание + n боковых граней)

1) У пирамиды 1883 вершины. Сколько вершин в основании этой пирамиды?

Общее число вершин пирамиды (В) связано с числом вершин в основании (n) формулой $В = n + 1$.

По условию, $В = 1883$. Подставим это значение в формулу:

$1883 = n + 1$

Отсюда находим число вершин в основании $n$:

$n = 1883 - 1 = 1882$

Ответ: 1882.

2) У пирамиды 1800 рёбер. Какая это пирамида?

Число рёбер пирамиды (Р) связано с числом вершин в основании (n) формулой $Р = 2n$.

По условию, $Р = 1800$. Подставим это значение в формулу:

$1800 = 2n$

Отсюда находим $n$:

$n = 1800 / 2 = 900$

Так как в основании пирамиды лежит 900-угольник, то эта пирамида называется 900-угольной.

Ответ: 900-угольная пирамида.

3) У пирамиды 28 граней. Сколько у неё вершин?

Число граней пирамиды (Г) связано с числом вершин в основании (n) формулой $Г = n + 1$.

По условию, $Г = 28$. Найдём $n$:

$28 = n + 1$

$n = 28 - 1 = 27$

Теперь найдём число вершин (В) по формуле $В = n + 1$:

$В = 27 + 1 = 28$

Для любой пирамиды число вершин равно числу граней.

Ответ: 28.

4) Существует ли пирамида, у которой 1999 рёбер?

Число рёбер любой n-угольной пирамиды вычисляется по формуле $Р = 2n$. Это означает, что общее число рёбер всегда является чётным числом, так как оно кратно 2.

Число 1999 является нечётным, поэтому пирамиды с таким количеством рёбер не существует.

Ответ: Нет.

5) Сумма числа рёбер и числа вершин пирамиды равна 25. Какая это пирамида?

Пусть в основании пирамиды n-угольник. Тогда число вершин $В = n + 1$, а число рёбер $Р = 2n$.

По условию, их сумма равна 25: $В + Р = 25$.

Подставим формулы в это уравнение:

$(n + 1) + 2n = 25$

$3n + 1 = 25$

$3n = 24$

$n = 24 / 3 = 8$

В основании пирамиды лежит восьмиугольник, значит, это восьмиугольная пирамида.

Ответ: Восьмиугольная пирамида.

6) Сумма числа вершин, рёбер и граней пирамиды равна 26. Какая это пирамида?

Пусть в основании пирамиды n-угольник. Тогда $В = n + 1$, $Р = 2n$, $Г = n + 1$.

По условию, их сумма равна 26: $В + Р + Г = 26$.

Подставим формулы в это уравнение:

$(n + 1) + 2n + (n + 1) = 26$

$4n + 2 = 26$

$4n = 24$

$n = 24 / 4 = 6$

В основании пирамиды лежит шестиугольник, значит, это шестиугольная пирамида.

Ответ: Шестиугольная пирамида.