Номер 994, страница 253 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

10.4. Пирамида. Глава 10. Многогранники - номер 994, страница 253.

994 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ

1) Скопируйте рисунок 10.50 в тетрадь и дорисуйте его до: а) треугольной пирамиды; б) четырёхугольной пирамиды.

2) Представьте, что у многогранника, изображённого на рисунке 10.50, пять вершин, но одна вершина не нарисована. Как вы думаете, сколько можно придумать многогранников с пятью вершинами, чтобы у них было разное число рёбер?

Рис. 10.50

1) Для того чтобы дорисовать изображение до требуемых многогранников, необходимо выполнить следующие действия:

а) треугольной пирамиды;
На рисунке изображены 4 вершины. Треугольная пирамида (тетраэдр) как раз имеет 4 вершины. Основанием такой пирамиды является треугольник. На рисунке три нижние вершины уже соединены двумя рёбрами. Чтобы завершить построение основания, нужно соединить отрезком две крайние нижние вершины. В результате получится многогранник с 4 вершинами, 6 рёбрами (3 в основании и 3 боковых) и 4 треугольными гранями. Для наглядности в перспективном изображении невидимые рёбра (например, добавленное ребро основания) следует изображать штриховой линией.
Ответ: Для получения треугольной пирамиды нужно соединить отрезком две крайние нижние вершины, чтобы основание стало треугольником.

б) четырёхугольной пирамиды.
Четырёхугольная пирамида имеет 5 вершин: 4 вершины в основании и 1 вершина — апекс (вершина пирамиды). На исходном рисунке всего 4 вершины. Следовательно, необходимо добавить ещё одну вершину. Нужно нарисовать в плоскости основания четвёртую вершину и соединить её с двумя соседними вершинами основания, чтобы получилось четырёхугольное основание. Затем эту новую вершину основания нужно соединить ребром с вершиной пирамиды (апексом). В результате получится многогранник с 5 вершинами, 8 рёбрами (4 в основании и 4 боковых) и 5 гранями (1 четырёхугольная и 4 треугольные). Как и в предыдущем случае, невидимые рёбра следует изображать штриховыми линиями.
Ответ: Для получения четырёхугольной пирамиды нужно добавить пятую вершину в плоскости основания, достроить основание до четырёхугольника и соединить новую вершину основания с вершиной пирамиды.

2) Нам нужно найти, сколько существует различных вариантов числа рёбер для выпуклого многогранника с пятью вершинами. Пусть $V$ — число вершин, $E$ — число рёбер, $F$ — число граней.
По условию, $V=5$.
Для любого выпуклого многогранника справедлива формула Эйлера: $V - E + F = 2$. Подставив $V=5$, получим: $5 - E + F = 2$, откуда $F = E - 3$.
Также для многогранников существуют следующие ограничения:
1. В каждой вершине должно сходиться не менее 3 рёбер. Сумма степеней всех вершин равна удвоенному числу рёбер: $\sum \deg(v_i) = 2E$. Так как у нас 5 вершин и степень каждой не меньше 3, то $2E \ge 5 \times 3 = 15$. Отсюда $E \ge 7.5$. Поскольку число рёбер целое, $E \ge 8$.
2. Для любого многогранника, являющегося простым графом, число рёбер $E$ и число вершин $V$ связаны неравенством $E \le 3V - 6$. При $V=5$ получаем $E \le 3 \times 5 - 6 = 9$.
Объединяя два неравенства, получаем, что возможное число рёбер $E$ должно удовлетворять условию $8 \le E \le 9$. Рассмотрим возможные целые значения для $E$:

• Если $E=8$, то $F = E - 3 = 8 - 3 = 5$. Многогранник с $V=5$, $E=8$, $F=5$ существует. Примером является четырёхугольная пирамида. У неё 5 вершин (4 в основании + 1 вершина), 8 рёбер (4 в основании + 4 боковых) и 5 граней (1 основание + 4 боковые).
• Если $E=9$, то $F = E - 3 = 9 - 3 = 6$. Многогранник с $V=5$, $E=9$, $F=6$ также существует. Примером является треугольная бипирамида (два тетраэдра, соединённые по одной грани). У неё 5 вершин (3 на "экваторе", 2 на "полюсах"), 9 рёбер и 6 треугольных граней.

Других целых значений в диапазоне $8 \le E \le 9$ нет. Таким образом, существует только два возможных значения для числа рёбер у многогранника с пятью вершинами.
Ответ: 2.