Номер 941, страница 240 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

10.2. Параллелепипед. Глава 10. Многогранники - номер 941, страница 240.

941 НАБЛЮДАЕМ И РАССУЖДАЕМ На рисунке 10.20 изображён параллелепипед. Известны длины его рёбер: $AB = 6 \text{ см}$, $ML = 4 \text{ см}$, $AM = 2 \text{ см}$.

1) Определите длины всех рёбер данного параллелепипеда.

2) Каковы размеры граней $AMNB$, $BNKC$, $MLKN$? Для каждой из них назовите равные ей грани.

3) Начертите три различные грани параллелепипеда в натуральную величину.

4) Найдите сумму площадей всех граней параллелепипеда.

Рис. 10.20

1) У параллелепипеда 12 рёбер. Противоположные рёбра параллелепипеда равны, поэтому они образуют три группы по четыре равных ребра в каждой. Из условия и рисунка видно, что длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины (например, из вершины A: рёбра AB, AM и AD), равны 6 см, 2 см и 4 см. Это три измерения параллелепипеда.

Таким образом, в данном параллелепипеде:

• 4 ребра длиной 6 см (высота);
• 4 ребра длиной 4 см (длина);
• 4 ребра длиной 2 см (ширина).

Ответ: В параллелепипеде 4 ребра длиной 6 см, 4 ребра длиной 4 см и 4 ребра длиной 2 см.

2) Будем считать, что изображённый параллелепипед является прямоугольным, так как его боковые рёбра изображены перпендикулярно основанию. В этом случае все его грани — прямоугольники. У параллелепипеда три пары равных противоположных граней.

• Грань AMNB (передняя) является прямоугольником. Её стороны — это рёбра AM (ширина) и AB (высота). Размеры этой грани: 2 см × 6 см. Противоположная (задняя) грань DLCK равна ей.

• Грань BNKC (верхняя) является прямоугольником. Её стороны — это рёбра BN (ширина) и NK (длина). Размеры этой грани: 2 см × 4 см. Противоположная (нижняя) грань AMLD равна ей.

• Грань MLKN (левая боковая) является прямоугольником. Её стороны — это рёбра ML (длина) и LK (высота). Размеры этой грани: 4 см × 6 см. Противоположная (правая) грань ADCB равна ей.

Ответ: Грань AMNB — прямоугольник 2 см × 6 см, равная ей грань — DLCK. Грань BNKC — прямоугольник 2 см × 4 см, равная ей грань — AMLD. Грань MLKN — прямоугольник 4 см × 6 см, равная ей грань — ADCB.

3) Три различные грани параллелепипеда — это прямоугольники со следующими размерами:

• Прямоугольник со сторонами 2 см и 4 см (нижняя/верхняя грань).
• Прямоугольник со сторонами 2 см и 6 см (передняя/задняя грань).
• Прямоугольник со сторонами 4 см и 6 см (боковая грань).

Ниже представлены чертежи этих граней в натуральную величину.

2 см × 4 см

2 см × 6 см

4 см × 6 см

Ответ: Три различные грани — это прямоугольники с размерами 2 см × 4 см, 2 см × 6 см и 4 см × 6 см.

4) Сумма площадей всех граней (площадь полной поверхности) равна сумме площадей трёх пар равных граней. Обозначим измерения параллелепипеда как $a=2$ см, $b=4$ см и $c=6$ см.

Площадь двух оснований (верхней и нижней граней): $S_1 = 2 \times (a \times b) = 2 \times (2 \text{ см} \times 4 \text{ см}) = 16 \text{ см}^2$.

Площадь двух передней и задней граней: $S_2 = 2 \times (a \times c) = 2 \times (2 \text{ см} \times 6 \text{ см}) = 24 \text{ см}^2$.

Площадь двух боковых граней: $S_3 = 2 \times (b \times c) = 2 \times (4 \text{ см} \times 6 \text{ см}) = 48 \text{ см}^2$.

Общая сумма площадей всех граней: $S_{полн} = S_1 + S_2 + S_3 = 16 \text{ см}^2 + 24 \text{ см}^2 + 48 \text{ см}^2 = 88 \text{ см}^2$.

Также можно воспользоваться общей формулой для площади полной поверхности прямоугольного параллелепипеда:

$S_{полн} = 2 \cdot (ab + ac + bc) = 2 \cdot (2 \cdot 4 + 2 \cdot 6 + 4 \cdot 6) = 2 \cdot (8 + 12 + 24) = 2 \cdot 44 = 88 \text{ см}^2$.

Ответ: $88 \text{ см}^2$.