Номер 832, страница 209 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.4. Умножение дробей. Глава 9. Действия с дробями - номер 832, страница 209.

832 Исследуем

1) Сравните число $a$ и произведение $a \cdot \frac{3}{4}$, если $a = 4, 15, \frac{1}{3}, \frac{3}{2}$. Как изменяется число при умножении его на правильную дробь – увеличивается или уменьшается?

2) Сравните число $b$ и произведение $b \cdot \frac{4}{3}$, если $b = 4, 15, \frac{1}{3}, \frac{3}{2}$. Как изменяется число при умножении его на неправильную дробь – увеличивается или уменьшается?

3) Какой смысл имеет слово «умножение» в русском языке? Сохраняется ли смысл этого слова, когда мы говорим об умножении на дробное число?

1) Сравните число $a$ и произведение $a \cdot \frac{3}{4}$, если $a = 4, 15, \frac{1}{3}, \frac{3}{2}$. Как изменяется число при умножении его на правильную дробь — увеличивается или уменьшается?

Проведем сравнение для каждого значения $a$. Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя, поэтому она всегда меньше 1. В данном случае это дробь $\frac{3}{4}$.

• Если $a = 4$: произведение равно $4 \cdot \frac{3}{4} = \frac{4 \cdot 3}{4} = 3$. Так как $3 < 4$, то $a \cdot \frac{3}{4} < a$.

• Если $a = 15$: произведение равно $15 \cdot \frac{3}{4} = \frac{45}{4} = 11\frac{1}{4}$. Так как $11\frac{1}{4} < 15$, то $a \cdot \frac{3}{4} < a$.

• Если $a = \frac{1}{3}$: произведение равно $\frac{1}{3} \cdot \frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 3}{3 \cdot 4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$. Сравним $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$. Приведем к общему знаменателю 12: $\frac{1}{3} = \frac{4}{12}$, а $\frac{1}{4} = \frac{3}{12}$. Так как $\frac{3}{12} < \frac{4}{12}$, то $\frac{1}{4} < \frac{1}{3}$, следовательно, $a \cdot \frac{3}{4} < a$.

• Если $a = \frac{3}{2}$: произведение равно $\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{8}$. Сравним $\frac{3}{2}$ и $\frac{9}{8}$. Приведем к общему знаменателю 8: $\frac{3}{2} = \frac{12}{8}$. Так как $\frac{9}{8} < \frac{12}{8}$, то $\frac{9}{8} < \frac{3}{2}$, следовательно, $a \cdot \frac{3}{4} < a$.

Во всех случаях произведение оказывается меньше исходного числа $a$. Это происходит потому, что умножение на число, меньшее 1, эквивалентно взятию части от этого числа.

Ответ: Произведение $a \cdot \frac{3}{4}$ всегда меньше, чем $a$ (для $a > 0$). При умножении числа на правильную дробь оно уменьшается.

2) Сравните число $b$ и произведение $b \cdot \frac{4}{3}$, если $b = 4, 15, \frac{1}{3}, \frac{3}{2}$. Как изменяется число при умножении его на неправильную дробь — увеличивается или уменьшается?

Проведем сравнение для каждого значения $b$. Неправильная дробь (если она не равна 1) — это дробь, у которой числитель больше знаменателя, поэтому она всегда больше 1. В данном случае это дробь $\frac{4}{3}$.

• Если $b = 4$: произведение равно $4 \cdot \frac{4}{3} = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3}$. Так как $5\frac{1}{3} > 4$, то $b \cdot \frac{4}{3} > b$.

• Если $b = 15$: произведение равно $15 \cdot \frac{4}{3} = \frac{15 \cdot 4}{3} = 5 \cdot 4 = 20$. Так как $20 > 15$, то $b \cdot \frac{4}{3} > b$.

• Если $b = \frac{1}{3}$: произведение равно $\frac{1}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4}{9}$. Сравним $\frac{1}{3}$ и $\frac{4}{9}$. Приведем к общему знаменателю 9: $\frac{1}{3} = \frac{3}{9}$. Так как $\frac{4}{9} > \frac{3}{9}$, то $\frac{4}{9} > \frac{1}{3}$, следовательно, $b \cdot \frac{4}{3} > b$.

• Если $b = \frac{3}{2}$: произведение равно $\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} = \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$. Сравним $\frac{3}{2}$ и $2$. Так как $\frac{3}{2} = 1,5$, а $1,5 < 2$, то $2 > \frac{3}{2}$, следовательно, $b \cdot \frac{4}{3} > b$.

Во всех случаях произведение оказывается больше исходного числа $b$. Это происходит потому, что умножение на число, большее 1, приводит к увеличению исходного числа.

Ответ: Произведение $b \cdot \frac{4}{3}$ всегда больше, чем $b$ (для $b > 0$). При умножении числа на неправильную дробь (большую 1) оно увеличивается.

3) Какой смысл имеет слово «умножение» в русском языке? Сохраняется ли смысл этого слова, когда мы говорим об умножении на дробное число?

В бытовом русском языке слово «умножение» происходит от глагола «множить» и несет в себе смысл увеличения, приумножения, увеличения количества чего-либо. Например, «умножить капитал» означает сделать его больше.

При переходе к математической операции умножения на дробное число этот изначальный смысл сохраняется не всегда.

• При умножении на дробное число, которое больше 1 (неправильная дробь), результат действительно становится больше исходного числа, и бытовой смысл «увеличения» сохраняется.

• Однако при умножении на дробное число, которое меньше 1 (правильная дробь), результат становится меньше исходного числа. В этом случае операция «умножение» приводит к уменьшению. Например, умножить на $\frac{1}{2}$ означает найти половину числа, то есть уменьшить его. Это противоречит бытовому значению слова.

Таким образом, в математике термин «умножение» имеет более общее, абстрактное значение, чем в повседневной речи. Он описывает операцию, которая может как увеличивать, так и уменьшать число, в зависимости от множителя.

Ответ: В русском языке слово «умножение» означает увеличение, приумножение. Этот смысл не всегда сохраняется при умножении на дробное число. Он сохраняется при умножении на дробь больше единицы, но при умножении на дробь меньше единицы происходит уменьшение, что противоречит бытовому смыслу слова.