Номер 813, страница 205 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.3. Сложение и вычитание смешанных дробей. Глава 9. Действия с дробями - номер 813, страница 205.

ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ (813–814)

813 1) Подметьте закономерность в последовательности сумм:

$1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} = 3\frac{3}{4}$,

$1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{8} = 6\frac{7}{8}$,

$1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{8} + 4\frac{1}{16} = 10\frac{15}{16}$.

2) Запишите следующее равенство и проверьте результат сложением.

1) Проанализируем данную последовательность сумм. Каждая следующая сумма содержит все слагаемые из предыдущей и одно новое. Новое слагаемое подчиняется правилу: его целая часть на единицу больше целой части предыдущего добавленного слагаемого, а знаменатель его дробной части в два раза больше. Числитель дробной части всегда равен 1. Таким образом, $n$-е слагаемое в общей последовательности имеет вид $n\frac{1}{2^n}$.

Результат каждой суммы также имеет четкую закономерность. Целая часть результата равна сумме целых частей всех слагаемых в данной строке. Например, для третьего равенства целая часть равна $1+2+3+4=10$. Дробная часть результата имеет знаменатель, который совпадает со знаменателем последнего слагаемого в сумме, а числитель на единицу меньше этого знаменателя. Например, в третьем равенстве знаменатель последнего слагаемого равен 16, а числитель в ответе $16-1=15$, то есть дробь равна $\frac{15}{16}$.

Ответ: Целая часть суммы равна сумме целых частей слагаемых. Знаменатель дробной части суммы равен знаменателю последнего слагаемого, а числитель на единицу меньше знаменателя.

2) Чтобы записать следующее равенство, к левой части последнего известного равенства нужно добавить следующее слагаемое в последовательности. После слагаемого $4\frac{1}{16}$ идет слагаемое $5\frac{1}{32}$, так как целая часть увеличивается на 1 ($4+1=5$), а знаменатель удваивается ($16 \times 2 = 32$).

Следующее равенство будет выглядеть так:
$1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{8} + 4\frac{1}{16} + 5\frac{1}{32} = ?$

Используя найденную в пункте 1 закономерность, предскажем результат. Целая часть будет равна сумме целых частей: $1+2+3+4+5=15$. Дробная часть будет иметь знаменатель 32 и числитель $32-1=31$, то есть $\frac{31}{32}$. Предполагаемый результат: $15\frac{31}{32}$.

Теперь проверим этот результат прямым сложением. Мы можем взять результат предыдущей суммы ($10\frac{15}{16}$) и прибавить к нему новое слагаемое ($5\frac{1}{32}$):
$10\frac{15}{16} + 5\frac{1}{32} = (10+5) + (\frac{15}{16} + \frac{1}{32})$
Сложим дробные части, приведя их к общему знаменателю 32:
$\frac{15}{16} + \frac{1}{32} = \frac{15 \cdot 2}{16 \cdot 2} + \frac{1}{32} = \frac{30}{32} + \frac{1}{32} = \frac{31}{32}$
Теперь сложим целую и полученную дробную части:
$15 + \frac{31}{32} = 15\frac{31}{32}$
Вычисленный результат совпадает с предсказанным.

Ответ: $1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{4} + 3\frac{1}{8} + 4\frac{1}{16} + 5\frac{1}{32} = 15\frac{31}{32}$.