Номер 770, страница 197 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.1 Сложение и вычитание дробей. Глава 9. Действия с дробями - номер 770, страница 197.

770 Сократите дробь, используя признаки делимости:

а) $\frac{540}{945}$

б) $\frac{184}{552}$

а) Чтобы сократить дробь $ \frac{540}{945} $, воспользуемся признаками делимости. Числитель 540 оканчивается на 0, а знаменатель 945 — на 5, значит, согласно признаку делимости на 5, оба числа делятся на 5. Разделим числитель и знаменатель на 5:
$ \frac{540}{945} = \frac{540 \div 5}{945 \div 5} = \frac{108}{189} $.
Теперь для дроби $ \frac{108}{189} $ применим признак делимости на 9. Сумма цифр числителя 108 равна $ 1+0+8=9 $, а сумма цифр знаменателя 189 равна $ 1+8+9=18 $. Обе суммы (9 и 18) делятся на 9, следовательно, и сами числа делятся на 9. Сократим дробь на 9:
$ \frac{108}{189} = \frac{108 \div 9}{189 \div 9} = \frac{12}{21} $.
Осталось сократить дробь $ \frac{12}{21} $. Очевидно, что оба числа делятся на 3.
$ \frac{12}{21} = \frac{12 \div 3}{21 \div 3} = \frac{4}{7} $.
Дробь $ \frac{4}{7} $ является несократимой, так как 7 — простое число, а 4 на 7 не делится.
Ответ: $ \frac{4}{7} $.

б) Чтобы сократить дробь $ \frac{184}{552} $, воспользуемся признаками делимости. Числитель 184 и знаменатель 552 являются чётными числами, поэтому они делятся на 2. Проверим более сильный признак — делимость на 8: число делится на 8, если число, образованное тремя его последними цифрами, делится на 8.
$ 184 \div 8 = 23 $
$ 552 \div 8 = 69 $
Поскольку оба числа делятся на 8, сократим дробь на 8:
$ \frac{184}{552} = \frac{184 \div 8}{552 \div 8} = \frac{23}{69} $.
Теперь рассмотрим дробь $ \frac{23}{69} $. Число 23 является простым. Проверим, не делится ли знаменатель 69 на 23. Для этого можно разложить 69 на простые множители. Применим признак делимости на 3: сумма цифр числа 69 равна $ 6+9=15 $, а 15 делится на 3, значит, и 69 делится на 3.
$ 69 \div 3 = 23 $.
Таким образом, знаменатель можно представить как $ 69 = 3 \cdot 23 $. Подставим это в дробь:
$ \frac{23}{69} = \frac{23}{3 \cdot 23} $.
Теперь мы можем сократить дробь на общий множитель 23:
$ \frac{23}{3 \cdot 23} = \frac{1}{3} $.
Дробь $ \frac{1}{3} $ является несократимой.
Ответ: $ \frac{1}{3} $.