Номер 767, страница 197 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.1 Сложение и вычитание дробей. Глава 9. Действия с дробями - номер 767, страница 197.

767. Из пунктов $A$ и $B$ одновременно навстречу друг другу выехали два автомобиля. Первый проходит расстояние между $A$ и $B$ за 3 ч, а второй – за 4 ч.

Состоялась ли встреча автомобилей, если они находятся в пути

1 ч?

2 ч?

Для решения задачи примем все расстояние между пунктами А и В за 1 (одну целую единицу). Тогда мы можем определить скорость каждого автомобиля как долю расстояния, которую он проходит за один час.

Скорость первого автомобиля, который проходит все расстояние за 3 часа, составляет:

$v_1 = \frac{1}{3}$ расстояния/час

Скорость второго автомобиля, который проходит все расстояние за 4 часа, составляет:

$v_2 = \frac{1}{4}$ расстояния/час

Поскольку автомобили движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Найдем их общую скорость сближения:

$v_{сближения} = v_1 + v_2 = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$ расстояния/час

Это означает, что за каждый час автомобили вместе преодолевают $\frac{7}{12}$ всего расстояния между пунктами А и В.

Встреча произойдет, когда суммарное пройденное ими расстояние станет равно 1. Найдем время до встречи ($t_{встречи}$):

$t_{встречи} = \frac{1}{v_{сближения}} = \frac{1}{\frac{7}{12}} = \frac{12}{7} = 1\frac{5}{7}$ часа.

Теперь, зная точное время встречи, мы можем ответить на вопросы.

1 ч?

Сравним заданное время (1 час) с временем, необходимым для встречи ($1\frac{5}{7}$ часа).
Поскольку $1 < 1\frac{5}{7}$, за 1 час автомобили еще не успеют встретиться.

Проверим это, рассчитав, какую часть пути они проедут вместе за 1 час:
$S_{пройдено} = v_{сближения} \times t = \frac{7}{12} \times 1 = \frac{7}{12}$.
Так как $\frac{7}{12} < 1$, они еще не покрыли всё расстояние между собой, следовательно, встреча не состоялась.

Ответ: нет, встреча еще не состоялась.

2 ч?

Сравним заданное время (2 часа) с временем, необходимым для встречи ($1\frac{5}{7}$ часа).
Поскольку $2 > 1\frac{5}{7}$, за 2 часа автомобили уже успеют встретиться и разъехаться.

Проверим это, рассчитав, какую часть пути они проедут вместе за 2 часа:
$S_{пройдено} = v_{сближения} \times t = \frac{7}{12} \times 2 = \frac{14}{12} = \frac{7}{6} = 1\frac{1}{6}$.
Так как $1\frac{1}{6} > 1$, суммарное пройденное ими расстояние больше, чем все расстояние между пунктами. Это означает, что они уже встретились.

Ответ: да, встреча уже состоялась.