Номер 765, страница 196 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.1 Сложение и вычитание дробей. Глава 9. Действия с дробями - номер 765, страница 196.

765 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ Даны выражения

$\frac{1}{2^2 - 1}$; $\frac{1}{2^2 - 1} + \frac{1}{4^2 - 1}$; $\frac{1}{2^2 - 1} + \frac{1}{4^2 - 1} + \frac{1}{6^2 - 1}$.

1) Вычислите значение каждого из выражений.

2) Подметьте закономерность, по которой составляют данные выражения, и запишите следующее выражение. Догадайтесь, не вычисляя, чему равно его значение. Проверьте себя с помощью вычислений.

1) Вычислите значение каждого из выражений.

Вычислим значение первого выражения:

$\frac{1}{2^2 - 1} = \frac{1}{4 - 1} = \frac{1}{3}$

Вычислим значение второго выражения:

$\frac{1}{2^2 - 1} + \frac{1}{4^2 - 1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{16 - 1} = \frac{1}{3} + \frac{1}{15} = \frac{5}{15} + \frac{1}{15} = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}$

Вычислим значение третьего выражения, используя результат для второго:

$(\frac{1}{2^2 - 1} + \frac{1}{4^2 - 1}) + \frac{1}{6^2 - 1} = \frac{2}{5} + \frac{1}{36 - 1} = \frac{2}{5} + \frac{1}{35} = \frac{14}{35} + \frac{1}{35} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}$

Ответ: Значения выражений равны $\frac{1}{3}$, $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{7}$ соответственно.

2) Подметьте закономерность, по которой составляют данные выражения, и запишите следующее выражение. Догадайтесь, не вычисляя, чему равно его значение. Проверьте себя с помощью вычислений.

Закономерность заключается в том, что каждое следующее выражение получается путем добавления к предыдущему слагаемого вида $\frac{1}{(2n)^2 - 1}$, где $n$ — это номер слагаемого по порядку. Основания степеней в знаменателях представляют собой последовательные четные числа: 2, 4, 6, ...

Следуя этой закономерности, четвертое выражение будет содержать четыре слагаемых, где последнее будет иметь в знаменателе $8^2 - 1$. Следующее выражение:

$\frac{1}{2^2 - 1} + \frac{1}{4^2 - 1} + \frac{1}{6^2 - 1} + \frac{1}{8^2 - 1}$

Теперь проанализируем результаты вычислений из пункта 1:

• Сумма первого слагаемого: $\frac{1}{3}$
• Сумма двух слагаемых: $\frac{2}{5}$
• Сумма трех слагаемых: $\frac{3}{7}$

Можно заметить, что результат суммы $n$ слагаемых можно представить в виде дроби $\frac{n}{2n+1}$.

Исходя из этой догадки, значение четвертого выражения (где $n=4$) должно быть равно:

$\frac{4}{2 \cdot 4 + 1} = \frac{4}{9}$

Теперь проверим наше предположение вычислением. Для этого к значению третьего выражения ($\frac{3}{7}$) прибавим четвертое слагаемое:

$\frac{3}{7} + \frac{1}{8^2 - 1} = \frac{3}{7} + \frac{1}{64 - 1} = \frac{3}{7} + \frac{1}{63}$

Приведем дроби к общему знаменателю 63:

$\frac{3 \cdot 9}{7 \cdot 9} + \frac{1}{63} = \frac{27}{63} + \frac{1}{63} = \frac{28}{63}$

Сократим полученную дробь на 7:

$\frac{28 \div 7}{63 \div 7} = \frac{4}{9}$

Результат вычислений совпал с нашей догадкой.

Ответ: Следующее выражение: $\frac{1}{2^2 - 1} + \frac{1}{4^2 - 1} + \frac{1}{6^2 - 1} + \frac{1}{8^2 - 1}$. Его значение равно $\frac{4}{9}$.