Номер 766, страница 196 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.1 Сложение и вычитание дробей. Глава 9. Действия с дробями - номер 766, страница 196.

766 Таня, Наташа и Алёша упаковывают подарки. Таня может выполнить всю работу за 20 мин, если будет работать одна, Наташа — за 15 мин, а Алёша — за 12 мин. Какую часть работы выполнят они за 1 мин, работая вместе? Упакуют ли они половину всех подарков за 2 мин?

Для решения задачи сначала определим производительность каждого человека, то есть какую часть работы он выполняет за 1 минуту. Всю работу примем за 1.

• Производительность Тани: $1 \div 20 = \frac{1}{20}$ часть работы в минуту.
• Производительность Наташи: $1 \div 15 = \frac{1}{15}$ часть работы в минуту.
• Производительность Алёши: $1 \div 12 = \frac{1}{12}$ часть работы в минуту.

Какую часть работы выполнят они за 1 мин, работая вместе?

Чтобы найти, какую часть работы они выполнят вместе за 1 минуту, нужно сложить их производительности. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 20, 15 и 12 равен 60.

$\frac{1}{20} + \frac{1}{15} + \frac{1}{12} = \frac{1 \times 3}{20 \times 3} + \frac{1 \times 4}{15 \times 4} + \frac{1 \times 5}{12 \times 5} = \frac{3}{60} + \frac{4}{60} + \frac{5}{60} = \frac{3+4+5}{60} = \frac{12}{60}$

Сократим полученную дробь:

$\frac{12}{60} = \frac{1}{5}$

Работая вместе, за 1 минуту они выполнят $\frac{1}{5}$ всей работы.

Ответ: $\frac{1}{5}$ часть работы.

Упакуют ли они половину всех подарков за 2 мин?

Мы знаем, что за 1 минуту они вместе выполняют $\frac{1}{5}$ работы. Чтобы узнать, какую часть работы они выполнят за 2 минуты, нужно их совместную производительность умножить на время:

$\frac{1}{5} \times 2 = \frac{2}{5}$

Теперь нужно сравнить выполненную часть работы ($\frac{2}{5}$) с половиной всей работы ($\frac{1}{2}$). Приведем дроби к общему знаменателю 10:

$\frac{2}{5} = \frac{2 \times 2}{5 \times 2} = \frac{4}{10}$

$\frac{1}{2} = \frac{1 \times 5}{2 \times 5} = \frac{5}{10}$

Сравниваем полученные дроби:

$\frac{4}{10} < \frac{5}{10}$, следовательно, $\frac{2}{5} < \frac{1}{2}$.

За 2 минуты они упакуют меньше половины всех подарков.

Ответ: нет, не упакуют.