Номер 761, страница 196 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.1 Сложение и вычитание дробей. Глава 9. Действия с дробями - номер 761, страница 196.

761 Вычислите сумму:

а) $\frac{11}{30} + \frac{7}{12};$

б) $\frac{1}{27} + \frac{5}{18};$

в) $\frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15};$

г) $\frac{3}{7} + \frac{1}{6} + \frac{5}{14};$

д) $\frac{5}{12} + \frac{2}{9} + \frac{1}{18};$

е) $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}.$

а) $\frac{11}{30} + \frac{7}{12}$

Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 30 и 12.

Разложим знаменатели на простые множители:
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
НОК(30, 12) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Теперь приведем дроби к знаменателю 60. Для первой дроби дополнительный множитель $60 / 30 = 2$. Для второй дроби – $60 / 12 = 5$.

$\frac{11}{30} + \frac{7}{12} = \frac{11 \cdot 2}{30 \cdot 2} + \frac{7 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{22}{60} + \frac{35}{60}$

Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:
$\frac{22}{60} + \frac{35}{60} = \frac{22 + 35}{60} = \frac{57}{60}$

Сократим полученную дробь. Наибольший общий делитель (НОД) чисел 57 и 60 равен 3.
$\frac{57}{60} = \frac{57 \div 3}{60 \div 3} = \frac{19}{20}$

Ответ: $\frac{19}{20}$

б) $\frac{1}{27} + \frac{5}{18}$

Найдем НОК знаменателей 27 и 18.
$27 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 3^3$
$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$
НОК(27, 18) = $2 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54$.

Приведем дроби к общему знаменателю 54.
Дополнительный множитель для $\frac{1}{27}$ равен $54 / 27 = 2$.
Дополнительный множитель для $\frac{5}{18}$ равен $54 / 18 = 3$.

$\frac{1 \cdot 2}{27 \cdot 2} + \frac{5 \cdot 3}{18 \cdot 3} = \frac{2}{54} + \frac{15}{54} = \frac{2 + 15}{54} = \frac{17}{54}$

Дробь $\frac{17}{54}$ несократима, так как 17 – простое число, а 54 на 17 не делится.

Ответ: $\frac{17}{54}$

в) $\frac{1}{6} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15}$

Найдем НОК знаменателей 6, 10 и 15.
$6 = 2 \cdot 3$
$10 = 2 \cdot 5$
$15 = 3 \cdot 5$
НОК(6, 10, 15) = $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.

Приведем дроби к знаменателю 30.
$\frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 3}{10 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{5}{30} + \frac{3}{30} + \frac{2}{30}$

Сложим числители:
$\frac{5 + 3 + 2}{30} = \frac{10}{30}$

Сократим дробь:
$\frac{10}{30} = \frac{1}{3}$

Ответ: $\frac{1}{3}$

г) $\frac{3}{7} + \frac{1}{6} + \frac{5}{14}$

Найдем НОК знаменателей 7, 6 и 14.
$7 = 7$
$6 = 2 \cdot 3$
$14 = 2 \cdot 7$
НОК(7, 6, 14) = $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.

Приведем дроби к знаменателю 42.
$\frac{3 \cdot 6}{7 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 7}{6 \cdot 7} + \frac{5 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{18}{42} + \frac{7}{42} + \frac{15}{42}$

Сложим числители:
$\frac{18 + 7 + 15}{42} = \frac{40}{42}$

Сократим дробь на 2:
$\frac{40 \div 2}{42 \div 2} = \frac{20}{21}$

Ответ: $\frac{20}{21}$

д) $\frac{5}{12} + \frac{2}{9} + \frac{1}{18}$

Найдем НОК знаменателей 12, 9 и 18.
$12 = 2^2 \cdot 3$
$9 = 3^2$
$18 = 2 \cdot 3^2$
НОК(12, 9, 18) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Приведем дроби к знаменателю 36.
$\frac{5 \cdot 3}{12 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 4}{9 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 2}{18 \cdot 2} = \frac{15}{36} + \frac{8}{36} + \frac{2}{36}$

Сложим числители:
$\frac{15 + 8 + 2}{36} = \frac{25}{36}$

Дробь $\frac{25}{36}$ несократима, так как НОД(25, 36) = 1.

Ответ: $\frac{25}{36}$

е) $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}$

Найдем НОК знаменателей 2, 3 и 9.
$2 = 2$
$3 = 3$
$9 = 3^2$
НОК(2, 3, 9) = $2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$.

Приведем дроби к знаменателю 18.
$\frac{1 \cdot 9}{2 \cdot 9} + \frac{1 \cdot 6}{3 \cdot 6} + \frac{1 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{9}{18} + \frac{6}{18} + \frac{2}{18}$

Сложим числители:
$\frac{9 + 6 + 2}{18} = \frac{17}{18}$

Дробь $\frac{17}{18}$ несократима, так как 17 – простое число, а 18 на 17 не делится.

Ответ: $\frac{17}{18}$