Номер 752, страница 195 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

9.1 Сложение и вычитание дробей. Глава 9. Действия с дробями - номер 752, страница 195.

752 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ

1) Вычислите значение каждого из выражений:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{4}$, $\frac{1}{3} - \frac{1}{6}$, $\frac{1}{4} - \frac{1}{8}$.

2) Продолжите цепочку разностей, записав ещё три выражения. Вычислите значение каждого из них.

3) Какая разность стоит в этой цепочке на 10-м месте? Чему равно её значение?

1) Вычислим значение каждого из представленных выражений, приводя дроби к общему знаменателю.
$ \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} $
$ \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{1}{6} $
$ \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} - \frac{1}{8} = \frac{2}{8} - \frac{1}{8} = \frac{1}{8} $
Ответ: $ \frac{1}{4}; \frac{1}{6}; \frac{1}{8} $.

2) Заметим закономерность: каждое выражение имеет вид $ \frac{1}{n} - \frac{1}{2n} $, где знаменатель первой дроби $n$ последовательно увеличивается на 1, начиная с $n=2$. Значение такого выражения всегда равно $ \frac{1}{2n} $.
Для продолжения цепочки возьмем следующие три натуральных числа для $n$: 5, 6 и 7.
Следующие три выражения и их значения:
$ \frac{1}{5} - \frac{1}{10} = \frac{2}{10} - \frac{1}{10} = \frac{1}{10} $
$ \frac{1}{6} - \frac{1}{12} = \frac{2}{12} - \frac{1}{12} = \frac{1}{12} $
$ \frac{1}{7} - \frac{1}{14} = \frac{2}{14} - \frac{1}{14} = \frac{1}{14} $
Ответ: Следующие три выражения в цепочке: $ \frac{1}{5} - \frac{1}{10} $; $ \frac{1}{6} - \frac{1}{12} $; $ \frac{1}{7} - \frac{1}{14} $. Их значения равны $ \frac{1}{10} $, $ \frac{1}{12} $ и $ \frac{1}{14} $ соответственно.

3) В нашей последовательности выражений вида $ \frac{1}{n} - \frac{1}{2n} $ номер члена последовательности ($k$) связан со знаменателем $n$ как $n = k + 1$.
Для 1-го члена ($k=1$), $n=2$.
Для 2-го члена ($k=2$), $n=3$.
Соответственно, для 10-го члена ($k=10$) знаменатель $n$ будет равен $10 + 1 = 11$.
Таким образом, разность, стоящая на 10-м месте, это $ \frac{1}{11} - \frac{1}{2 \cdot 11} $, то есть $ \frac{1}{11} - \frac{1}{22} $.
Ее значение можно найти по формуле $ \frac{1}{2n} $ или прямым вычислением:
$ \frac{1}{11} - \frac{1}{22} = \frac{2}{22} - \frac{1}{22} = \frac{1}{22} $
Ответ: На 10-м месте стоит разность $ \frac{1}{11} - \frac{1}{22} $, и её значение равно $ \frac{1}{22} $.