Номер 682, страница 175 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8.3. Основное свойство дроби. Глава 8. Дроби - номер 682, страница 175.

682 а) $ \frac{10 \cdot 11 \cdot 9}{12 \cdot 10 \cdot 11} $;

б) $ \frac{12 \cdot 14 \cdot 16}{14 \cdot 16 \cdot 18} $;

в) $ \frac{5 \cdot 9}{6 \cdot 7 \cdot 30} $;

г) $ \frac{3 \cdot 4 \cdot 25}{24 \cdot 15} $.

а) Чтобы решить данный пример, необходимо сократить дробь. Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. В данном случае это числа 10 и 11.

$\frac{10 \cdot 11 \cdot 9}{12 \cdot 10 \cdot 11} = \frac{\cancel{10} \cdot \cancel{11} \cdot 9}{12 \cdot \cancel{10} \cdot \cancel{11}} = \frac{9}{12}$

Теперь сократим полученную дробь $\frac{9}{12}$. Наибольший общий делитель для чисел 9 и 12 равен 3. Разделим числитель и знаменатель на 3.

$\frac{9}{12} = \frac{9 \div 3}{12 \div 3} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

б) В этом примере мы также можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе. Это числа 14 и 16.

$\frac{12 \cdot 14 \cdot 16}{14 \cdot 16 \cdot 18} = \frac{12 \cdot \cancel{14} \cdot \cancel{16}}{\cancel{14} \cdot \cancel{16} \cdot 18} = \frac{12}{18}$

Далее сократим дробь $\frac{12}{18}$. Наибольший общий делитель для 12 и 18 равен 6.

$\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

в) В данном выражении нет одинаковых множителей, но мы можем упростить его, разложив числа на множители и сократив их.

$\frac{5 \cdot 9}{6 \cdot 7 \cdot 30}$

Представим число 30 в знаменателе как произведение $5 \cdot 6$.

$\frac{5 \cdot 9}{6 \cdot 7 \cdot (5 \cdot 6)} = \frac{\cancel{5} \cdot 9}{6 \cdot 7 \cdot \cancel{5} \cdot 6} = \frac{9}{6 \cdot 7 \cdot 6}$

Теперь сократим 9 в числителе и один из множителей 6 в знаменателе на 3. ($9=3 \cdot 3$, $6=2 \cdot 3$).

$\frac{3 \cdot \cancel{3}}{(2 \cdot \cancel{3}) \cdot 7 \cdot 6} = \frac{3}{2 \cdot 7 \cdot 6}$

Сократим оставшиеся 3 в числителе и 6 в знаменателе на 3. ($6=2 \cdot 3$).

$\frac{\cancel{3}}{2 \cdot 7 \cdot (2 \cdot \cancel{3})} = \frac{1}{2 \cdot 7 \cdot 2} = \frac{1}{28}$

Ответ: $\frac{1}{28}$

г) Для упрощения этого выражения будем последовательно сокращать множители в числителе и знаменателе.

$\frac{3 \cdot 4 \cdot 25}{24 \cdot 15}$

Заметим, что в числителе $3 \cdot 4 = 12$, а в знаменателе $24 = 2 \cdot 12$. Сократим на 12.

$\frac{(3 \cdot 4) \cdot 25}{24 \cdot 15} = \frac{12 \cdot 25}{24 \cdot 15} = \frac{\cancel{12} \cdot 25}{(2 \cdot \cancel{12}) \cdot 15} = \frac{25}{2 \cdot 15}$

Теперь сократим 25 и 15. Их наибольший общий делитель равен 5 ($25 = 5 \cdot 5$, $15 = 3 \cdot 5$).

$\frac{5 \cdot 5}{2 \cdot (3 \cdot 5)} = \frac{5 \cdot \cancel{5}}{2 \cdot 3 \cdot \cancel{5}} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$