Номер 680, страница 175 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8.3. Основное свойство дроби. Глава 8. Дроби - номер 680, страница 175.

680 АНАЛИЗИРУЕМ И ДОКАЗЫВАЕМ Используя признаки делимости, докажите, что дробь можно сократить, и сократите её:

а) $ \frac{312}{384} $;

б) $ \frac{333}{1386} $;

в) $ \frac{4550}{750} $;

г) $ \frac{315}{84} $.

а) $ \frac{312}{384} $

Докажем, что дробь можно сократить, используя признаки делимости. Числитель 312 и знаменатель 384 являются чётными числами, так как их последние цифры (2 и 4) — чётные. Согласно признаку делимости на 2, оба числа делятся на 2. Следовательно, у них есть общий делитель, и дробь можно сократить. Также проверим делимость на 3. Сумма цифр числителя: $3+1+2=6$. Сумма цифр знаменателя: $3+8+4=15$. Так как 6 и 15 делятся на 3, то и числа 312 и 384 делятся на 3.

Выполним сокращение дроби. Будем последовательно делить на общие делители.

Делим на 2: $ \frac{312}{384} = \frac{156}{192} $

Ещё раз делим на 2: $ \frac{156}{192} = \frac{78}{96} $

И ещё раз делим на 2: $ \frac{78}{96} = \frac{39}{48} $

Теперь числитель 39 и знаменатель 48 делятся на 3.

Делим на 3: $ \frac{39}{48} = \frac{13}{16} $. Числа 13 и 16 взаимно простые.

Ответ: $ \frac{13}{16} $

б) $ \frac{333}{1386} $

Докажем, что дробь можно сократить. Применим признак делимости на 9. Сумма цифр числителя: $3+3+3=9$. 9 делится на 9, значит, 333 делится на 9. Сумма цифр знаменателя: $1+3+8+6=18$. 18 делится на 9, значит, 1386 делится на 9. Поскольку числитель и знаменатель имеют общий делитель 9, дробь является сократимой.

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 9.

$ \frac{333}{1386} = \frac{333 \div 9}{1386 \div 9} = \frac{37}{154} $

Число 37 — простое, а 154 на 37 не делится.

Ответ: $ \frac{37}{154} $

в) $ \frac{4550}{750} $

Докажем, что дробь можно сократить. Числитель 4550 и знаменатель 750 оканчиваются на 0. По признаку делимости на 10, оба числа делятся на 10. Следовательно, дробь можно сократить.

Выполним сокращение. Сначала разделим числитель и знаменатель на 10.

$ \frac{4550}{750} = \frac{455}{75} $

Теперь числитель 455 и знаменатель 75 оканчиваются на 5. По признаку делимости на 5, оба числа делятся на 5. Сократим дробь на 5.

$ \frac{455}{75} = \frac{455 \div 5}{75 \div 5} = \frac{91}{15} $

Числа 91 и 15 являются взаимно простыми.

Ответ: $ \frac{91}{15} $

г) $ \frac{315}{84} $

Докажем, что дробь можно сократить. Проверим делимость на 3. Сумма цифр числителя: $3+1+5=9$. 9 делится на 3, значит, 315 делится на 3. Сумма цифр знаменателя: $8+4=12$. 12 делится на 3, значит, 84 делится на 3. Так как числитель и знаменатель имеют общий делитель 3, дробь является сократимой.

Выполним сокращение. Сначала разделим числитель и знаменатель на 3.

$ \frac{315}{84} = \frac{315 \div 3}{84 \div 3} = \frac{105}{28} $

Теперь проверим числа 105 и 28 на другие общие делители. Например, на 7. $105 = 7 \times 15$ и $28 = 7 \times 4$. Оба числа делятся на 7. Сократим дробь на 7.

$ \frac{105}{28} = \frac{105 \div 7}{28 \div 7} = \frac{15}{4} $

Числа 15 и 4 являются взаимно простыми.

Ответ: $ \frac{15}{4} $