Номер 697, страница 179 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8.4. Приведение дробей к общему знаменателю. Глава 8. Дроби - номер 697, страница 179.

697 a) $ \frac{1}{12}, \frac{7}{18}, \frac{2}{3}, \frac{4}{15}; $

б) $ \frac{3}{14}, \frac{5}{7}, \frac{10}{21}, \frac{11}{42}; $

В) $ \frac{4}{15}, \frac{1}{6}, \frac{3}{20}, \frac{5}{12}; $

Г) $ \frac{7}{30}, \frac{2}{45}, \frac{9}{20}, \frac{17}{60}. $

а) Чтобы привести дроби $ \frac{1}{12}, \frac{7}{18}, \frac{2}{3}, \frac{4}{15} $ к общему знаменателю, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей: 12, 18, 3 и 15.
Разложим знаменатели на простые множители:
$12 = 2^2 \cdot 3$
$18 = 2 \cdot 3^2$
$3 = 3$
$15 = 3 \cdot 5$
НОК(12, 18, 3, 15) равно произведению всех простых множителей в их наибольшей степени: $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$.
Теперь найдем дополнительные множители для каждой дроби и приведем их к знаменателю 180:
Для $ \frac{1}{12} $ дополнительный множитель: $180 \div 12 = 15$. $ \frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 15}{12 \cdot 15} = \frac{15}{180} $.
Для $ \frac{7}{18} $ дополнительный множитель: $180 \div 18 = 10$. $ \frac{7}{18} = \frac{7 \cdot 10}{18 \cdot 10} = \frac{70}{180} $.
Для $ \frac{2}{3} $ дополнительный множитель: $180 \div 3 = 60$. $ \frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 60}{3 \cdot 60} = \frac{120}{180} $.
Для $ \frac{4}{15} $ дополнительный множитель: $180 \div 15 = 12$. $ \frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 12}{15 \cdot 12} = \frac{48}{180} $.
Ответ: $ \frac{15}{180}, \frac{70}{180}, \frac{120}{180}, \frac{48}{180} $.

б) Чтобы привести дроби $ \frac{3}{14}, \frac{5}{7}, \frac{10}{21}, \frac{11}{42} $ к общему знаменателю, найдем НОК их знаменателей: 14, 7, 21 и 42.
Разложим знаменатели на простые множители:
$14 = 2 \cdot 7$
$7 = 7$
$21 = 3 \cdot 7$
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
НОК(14, 7, 21, 42) = $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.
Приведем дроби к знаменателю 42:
Для $ \frac{3}{14} $ дополнительный множитель: $42 \div 14 = 3$. $ \frac{3}{14} = \frac{3 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{9}{42} $.
Для $ \frac{5}{7} $ дополнительный множитель: $42 \div 7 = 6$. $ \frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 6}{7 \cdot 6} = \frac{30}{42} $.
Для $ \frac{10}{21} $ дополнительный множитель: $42 \div 21 = 2$. $ \frac{10}{21} = \frac{10 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{20}{42} $.
Дробь $ \frac{11}{42} $ уже имеет нужный знаменатель.
Ответ: $ \frac{9}{42}, \frac{30}{42}, \frac{20}{42}, \frac{11}{42} $.

в) Чтобы привести дроби $ \frac{4}{15}, \frac{1}{6}, \frac{3}{20}, \frac{5}{12} $ к общему знаменателю, найдем НОК их знаменателей: 15, 6, 20 и 12.
Разложим знаменатели на простые множители:
$15 = 3 \cdot 5$
$6 = 2 \cdot 3$
$20 = 2^2 \cdot 5$
$12 = 2^2 \cdot 3$
НОК(15, 6, 20, 12) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.
Приведем дроби к знаменателю 60:
Для $ \frac{4}{15} $ дополнительный множитель: $60 \div 15 = 4$. $ \frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{16}{60} $.
Для $ \frac{1}{6} $ дополнительный множитель: $60 \div 6 = 10$. $ \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 10}{6 \cdot 10} = \frac{10}{60} $.
Для $ \frac{3}{20} $ дополнительный множитель: $60 \div 20 = 3$. $ \frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{9}{60} $.
Для $ \frac{5}{12} $ дополнительный множитель: $60 \div 12 = 5$. $ \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60} $.
Ответ: $ \frac{16}{60}, \frac{10}{60}, \frac{9}{60}, \frac{25}{60} $.

г) Чтобы привести дроби $ \frac{7}{30}, \frac{2}{45}, \frac{9}{20}, \frac{17}{60} $ к общему знаменателю, найдем НОК их знаменателей: 30, 45, 20 и 60.
Разложим знаменатели на простые множители:
$30 = 2 \cdot 3 \cdot 5$
$45 = 3^2 \cdot 5$
$20 = 2^2 \cdot 5$
$60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$
НОК(30, 45, 20, 60) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$.
Приведем дроби к знаменателю 180:
Для $ \frac{7}{30} $ дополнительный множитель: $180 \div 30 = 6$. $ \frac{7}{30} = \frac{7 \cdot 6}{30 \cdot 6} = \frac{42}{180} $.
Для $ \frac{2}{45} $ дополнительный множитель: $180 \div 45 = 4$. $ \frac{2}{45} = \frac{2 \cdot 4}{45 \cdot 4} = \frac{8}{180} $.
Для $ \frac{9}{20} $ дополнительный множитель: $180 \div 20 = 9$. $ \frac{9}{20} = \frac{9 \cdot 9}{20 \cdot 9} = \frac{81}{180} $.
Для $ \frac{17}{60} $ дополнительный множитель: $180 \div 60 = 3$. $ \frac{17}{60} = \frac{17 \cdot 3}{60 \cdot 3} = \frac{51}{180} $.
Ответ: $ \frac{42}{180}, \frac{8}{180}, \frac{81}{180}, \frac{51}{180} $.