Страница 157 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8. Заполните пропуски:

$1 \text{ км}^2 = \text{ ... М}^2;$

$1 \text{ М}^2 = \text{ ... ДМ}^2 = \text{ ... СМ}^2 = \text{ ... ММ}^2.$

1 км² = ... м²

Для того чтобы перевести квадратные километры в квадратные метры, необходимо вспомнить соотношение между линейными единицами. Приставка "кило-" означает тысячу, следовательно, в одном километре содержится тысяча метров:
$1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$
Квадратный километр ($км^2$) — это единица измерения площади, равная площади квадрата со стороной 1 км. Чтобы найти эту площадь в квадратных метрах, нужно возвести в квадрат линейное соотношение:
$1 \text{ км}² = (1 \text{ км}) \times (1 \text{ км}) = (1000 \text{ м}) \times (1000 \text{ м}) = 1\;000\;000 \text{ м}²$
Таким образом, в одном квадратном километре содержится один миллион квадратных метров.
Ответ: $1 \text{ км}² = 1\;000\;000 \text{ м}²$.

1 м² = ... дм² = ... см² = ... мм²

Чтобы заполнить эту цепочку равенств, мы последовательно переведем 1 квадратный метр в другие единицы площади, основываясь на соотношениях линейных единиц.

Перевод м² в дм²:
В одном метре содержится 10 дециметров:
$1 \text{ м} = 10 \text{ дм}$
Следовательно, один квадратный метр равен:
$1 \text{ м}² = (10 \text{ дм}) \times (10 \text{ дм}) = 100 \text{ дм}²$

Перевод м² в см²:
В одном метре содержится 100 сантиметров:
$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$
Тогда один квадратный метр равен:
$1 \text{ м}² = (100 \text{ см}) \times (100 \text{ см}) = 10\;000 \text{ см}²$

Перевод м² в мм²:
В одном метре содержится 1000 миллиметров:
$1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$
Значит, один квадратный метр будет равен:
$1 \text{ м}² = (1000 \text{ мм}) \times (1000 \text{ мм}) = 1\;000\;000 \text{ мм}²$

Объединяя все полученные результаты, получаем итоговое равенство.
Ответ: $1 \text{ м}² = 100 \text{ дм}² = 10\;000 \text{ см}² = 1\;000\;000 \text{ мм}²$.

9. Выразите:

а) в квадратных сантиметрах $25\text{ дм}^2$, $700\text{ мм}^2$, $1\text{ дм}^2\ 85\text{ см}^2$;

б) в квадратных метрах $2\text{ км}^2$, $300\text{ дм}^2$.

а)

Для выражения величин в квадратных сантиметрах (см²) необходимо знать следующие соотношения:
В одном дециметре 10 сантиметров, значит в одном квадратном дециметре $10 \times 10 = 100$ квадратных сантиметров: $1 \text{ дм}^2 = 100 \text{ см}^2$.
В одном сантиметре 10 миллиметров, значит в одном квадратном сантиметре $10 \times 10 = 100$ квадратных миллиметров: $1 \text{ см}^2 = 100 \text{ мм}^2$.

1. Выразим 25 дм² в см²:
Чтобы перевести квадратные дециметры в квадратные сантиметры, нужно умножить значение на 100.
$25 \text{ дм}^2 = 25 \times 100 \text{ см}^2 = 2500 \text{ см}^2$.
Ответ: 2500 см².

2. Выразим 700 мм² в см²:
Чтобы перевести квадратные миллиметры в квадратные сантиметры, нужно разделить значение на 100.
$700 \text{ мм}^2 = \frac{700}{100} \text{ см}^2 = 7 \text{ см}^2$.
Ответ: 7 см².

3. Выразим 1 дм² 85 см² в см²:
Сначала переведем 1 дм² в см², а затем прибавим 85 см².
$1 \text{ дм}^2 85 \text{ см}^2 = 1 \times 100 \text{ см}^2 + 85 \text{ см}^2 = 100 \text{ см}^2 + 85 \text{ см}^2 = 185 \text{ см}^2$.
Ответ: 185 см².

б)

Для выражения величин в квадратных метрах (м²) необходимо знать следующие соотношения:
В одном километре 1000 метров, значит в одном квадратном километре $1000 \times 1000 = 1\,000\,000$ квадратных метров: $1 \text{ км}^2 = 1\,000\,000 \text{ м}^2$.
В одном метре 10 дециметров, значит в одном квадратном метре $10 \times 10 = 100$ квадратных дециметров: $1 \text{ м}^2 = 100 \text{ дм}^2$.

1. Выразим 2 км² в м²:
Чтобы перевести квадратные километры в квадратные метры, нужно умножить значение на 1 000 000.
$2 \text{ км}^2 = 2 \times 1\,000\,000 \text{ м}^2 = 2\,000\,000 \text{ м}^2$.
Ответ: 2 000 000 м².

2. Выразим 300 дм² в м²:
Чтобы перевести квадратные дециметры в квадратные метры, нужно разделить значение на 100.
$300 \text{ дм}^2 = \frac{300}{100} \text{ м}^2 = 3 \text{ м}^2$.
Ответ: 3 м².

10. Каждой площади поставьте в соответствие подходящую единицу:

1) $km^2$; 2) $dm^2$; 3) $m^2$; 4) га.

а) Площадь квартиры.

б) Площадь государства.

в) Площадь пашни.

г) Площадь окна.

Для решения этой задачи необходимо соотнести предложенные объекты с наиболее подходящими для них единицами измерения площади. Проанализируем масштаб каждого объекта и выберем соответствующую единицу из предложенных.

Предложенные единицы площади в порядке возрастания их размера:

• 2) $дм^2$ (квадратный дециметр) — площадь квадрата со стороной 10 см. Используется для измерения площади небольших предметов. $1\ м^2 = 100\ дм^2$.
• 3) $м^2$ (квадратный метр) — основная единица измерения площади помещений (комнат, квартир).
• 4) га (гектар) — единица для измерения крупных земельных участков. $1\ га = 100\ м \times 100\ м = 10\ 000\ м^2$.
• 1) $км^2$ (квадратный километр) — единица для измерения очень больших территорий (городов, стран). $1\ км^2 = 100\ га = 1\ 000\ 000\ м^2$.

Теперь установим соответствие.

а) Площадь квартиры.

Площадь квартир и домов традиционно измеряется в квадратных метрах. Типичная площадь квартиры составляет от 30 до 150 $м^2$. Поэтому наиболее подходящей единицей является $м^2$.

Ответ: 3.

б) Площадь государства.

Государства занимают очень большие территории, поэтому для измерения их площади используют самую крупную из предложенных единиц — квадратные километры. Например, площадь Монако составляет около 2 $км^2$, а площадь России — более 17 миллионов $км^2$.

Ответ: 1.

в) Площадь пашни.

Пашня — это большое поле, обрабатываемая земля. Для измерения площади сельскохозяйственных угодий и крупных земельных участков принято использовать гектары.

Ответ: 4.

г) Площадь окна.

Окно — объект, площадь которого значительно меньше площади комнаты. Его размеры удобно измерять в дециметрах (например, 12 дм на 15 дм). Следовательно, для площади окна наиболее подходящей единицей из оставшихся являются квадратные дециметры. Площадь стандартного окна может составлять около $180\ дм^2$ (что равно $1,8\ м^2$).

Ответ: 2.