Страница 148 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

568 Перенесите фигуру, изображённую на рисунке 7.26, в тетрадь. Покажите, как эту фигуру можно разрезать одной прямой на две равные части. Сколько способов можно предложить?

Для того чтобы разрезать фигуру одной прямой на две равные части, необходимо использовать её свойство симметрии. Равные части — это такие части, которые при наложении друг на друга полностью совпадают (т.е. являются конгруэнтными). У фигуры, изображенной на рисунке, есть как оси симметрии, так и центр симметрии.

Показ способов разрезания

Существует два наиболее очевидных способа, которые соответствуют осям симметрии фигуры:

1. Горизонтальный разрез. Можно провести прямую горизонтально через самую узкую часть фигуры. Эта линия является осью симметрии и разделит фигуру на две одинаковые равнобедренные трапеции, одна из которых будет "перевернута" относительно другой.

2. Вертикальный разрез. Можно провести прямую вертикально через центр фигуры. Эта линия также является осью симметрии и разделит фигуру на две равные, зеркально отражающие друг друга части.

Сколько способов можно предложить?

Помимо двух осей симметрии, данная фигура обладает центральной симметрией. Центр симметрии — это точка, в которой пересекаются ее горизонтальная и вертикальная оси. Любая прямая, которая проходит через центр симметрии, делит фигуру на две равные (конгруэнтные) части. Поскольку через одну точку на плоскости можно провести бесконечное множество прямых, то существует бесконечно много способов разрезать данную фигуру на две равные части.

Ответ: Фигуру можно разрезать на две равные части любой прямой, проходящей через её центр симметрии (самую узкую точку). В качестве примера можно показать разрез по горизонтальной или вертикальной оси симметрии. Всего можно предложить бесконечное множество способов.

569 Анализируем и ищем способ копирования

Треугольник, изображённый на рисунке 7.27, носит название «треугольник Серпинского» в честь создавшего его польского математика.

1) Рассмотрите его и ответьте на вопросы:

а) каков вид треугольников; б) есть ли среди них равные (приведите пример); в) во сколько раз сторона красного треугольника меньше стороны большого треугольника? сторона синего треугольника меньше стороны красного? сторона жёлтого меньше стороны синего?

Рис. 7.26

2) Подсчитайте число всех треугольников на рисунке.

Подсказка. Равные треугольники считайте отдельно.

3) Расскажите алгоритм построения треугольника Серпинского.

Рис. 7.27

1)

а) Все треугольники, изображённые на рисунке, являются равносторонними треугольниками. Это следует из алгоритма построения треугольника Серпинского, который начинается с равностороннего треугольника и на каждом шаге создаёт новые, подобные ему треугольники.

Ответ: все треугольники равносторонние.

б) Да, на рисунке есть равные (конгруэнтные) треугольники. Например, все три синих треугольника равны между собой. Также все девять жёлтых треугольников равны друг другу.

Ответ: да, есть. Например, три синих треугольника равны между собой.

в) Для ответа на этот вопрос примем сторону самого большого треугольника за $L$.

Розовый треугольник образован соединением середин сторон большого треугольника. Следовательно, его сторона в 2 раза меньше стороны большого треугольника ($L_{розовый} = L/2$).

Синие треугольники образованы внутри угловых треугольников со стороной $L/2$. Значит, сторона синего треугольника равна половине этой длины, то есть $L_{синий} = (L/2)/2 = L/4$. Таким образом, сторона синего треугольника в 2 раза меньше стороны розового треугольника ($L_{розовый}/L_{синий} = (L/2)/(L/4) = 2$).

Жёлтые треугольники образованы внутри угловых треугольников со стороной $L/4$. Значит, сторона жёлтого треугольника равна $L_{жёлтый} = (L/4)/2 = L/8$. Таким образом, сторона жёлтого треугольника в 2 раза меньше стороны синего треугольника ($L_{синий}/L_{жёлтый} = (L/4)/(L/8) = 2$).

Ответ: сторона розового треугольника в 2 раза меньше стороны большого; сторона синего треугольника в 2 раза меньше стороны розового; сторона жёлтого треугольника в 2 раза меньше стороны синего.

2) Подсчитаем все треугольники на рисунке, включая составные (те, которые состоят из нескольких меньших). Будем считать только треугольники, ориентированные вершиной вверх, как и все цветные треугольники.

• Самые маленькие треугольники (жёлтые): 9 штук.
• Треугольники следующего размера (синие): 3 штуки.
• Треугольник следующего размера (розовый): 1 штука.
• Составные треугольники, по размеру равные розовому. Это три угловых "ветви" большого треугольника (например, верхняя часть, состоящая из 1 синего, 3 жёлтых треугольников и пустых пространств между ними): 3 штуки.
• Самый большой треугольник, который охватывает всю фигуру: 1 штука.

Итого общее число треугольников: $9 + 3 + 1 + 3 + 1 = 17$.

Ответ: 17.

3) Алгоритм построения треугольника Серпинского является рекурсивным и состоит из следующих шагов:

1. Начать с цельного равностороннего треугольника.
2. Найти середины трёх его сторон.
3. Соединить эти три точки. Это разделит исходный треугольник на четыре меньших равносторонних треугольника.
4. Удалить (или игнорировать) центральный из этих четырёх треугольников (тот, который обращён вершиной вниз).
5. Повторить шаги 2-4 для каждого из трёх оставшихся угловых треугольников.

Этот процесс повторяется бесконечно для получения идеального фрактала. На рисунке показан результат после трёх итераций.

Ответ: алгоритм заключается в последовательном делении равностороннего треугольника на четыре меньших и удалении центрального из них, с последующим повторением этой процедуры для всех оставшихся треугольников.

570 При пайке изделий из жести применяют сплав, содержащий 2 части свинца и 5 частей олова.

а) Кусок сплава весит 350 г. Сколько в нём содержится свинца и сколько — олова?

б) Сколько свинца и сколько олова содержит кусок сплава, в котором олова на 360 г больше, чем свинца?

а)

Согласно условию, сплав состоит из 2 частей свинца и 5 частей олова. Соотношение свинца к олову составляет 2:5.

1. Найдем общее количество частей в сплаве:

$2 + 5 = 7$ (частей)

2. Общий вес сплава составляет 350 г. Найдем вес одной части, разделив общий вес на количество частей:

$350 \div 7 = 50$ (г)

3. Рассчитаем массу каждого компонента, умножив количество его частей на вес одной части:

Масса свинца: $2 \times 50 = 100$ (г)

Масса олова: $5 \times 50 = 250$ (г)

Проверим: $100 \text{ г} + 250 \text{ г} = 350 \text{ г}$.

Ответ: в куске сплава содержится 100 г свинца и 250 г олова.

б)

В этом случае нам известно, что олова в сплаве на 360 г больше, чем свинца.

1. Найдем, на сколько частей олова больше, чем свинца:

$5 - 2 = 3$ (части)

2. Эта разница в 3 части соответствует разнице в массе, равной 360 г. Найдем, какой вес приходится на одну часть:

$360 \div 3 = 120$ (г)

3. Теперь рассчитаем массу свинца и олова в этом куске сплава:

Масса свинца: $2 \times 120 = 240$ (г)

Масса олова: $5 \times 120 = 600$ (г)

Проверим: $600 \text{ г} - 240 \text{ г} = 360 \text{ г}$, что соответствует условию задачи.

Ответ: кусок сплава содержит 240 г свинца и 600 г олова.

571 Найдите несколько общих кратных чисел и укажите их наименьшее общее кратное:

a) 6 и 14;

б) 8 и 22.

а) 6 и 14

Чтобы найти общие кратные чисел, сначала необходимо определить их наименьшее общее кратное (НОК). Для этого разложим числа 6 и 14 на простые множители.

Разложение числа 6 на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$.

Разложение числа 14 на простые множители: $14 = 2 \cdot 7$.

Для нахождения НОК нужно выписать множители одного из чисел (например, 6) и добавить к ним недостающие множители из разложения второго числа. Множители числа 6: $2$ и $3$. В разложении числа 14 есть множители $2$ и $7$. Множитель $2$ уже есть, поэтому добавляем только недостающий множитель $7$.

НОК(6, 14) = $2 \cdot 3 \cdot 7 = 42$.

Таким образом, наименьшее общее кратное для 6 и 14 равно 42. Любое другое общее кратное этих чисел будет кратно 42.

Найдём несколько общих кратных, умножая НОК на натуральные числа:

• $42 \cdot 1 = 42$
• $42 \cdot 2 = 84$
• $42 \cdot 3 = 126$

Ответ: Несколько общих кратных: 42, 84, 126. Наименьшее общее кратное: 42.

б) 8 и 22

Сначала найдём наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 8 и 22, используя метод разложения на простые множители.

Разложение числа 8 на простые множители: $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$.

Разложение числа 22 на простые множители: $22 = 2 \cdot 11$.

Выпишем множители, входящие в разложение первого числа ($2 \cdot 2 \cdot 2$), и добавим к ним недостающие множители из разложения второго числа. В разложении числа 22 есть множители $2$ и $11$. Множитель $2$ уже есть в разложении числа 8, поэтому добавляем только недостающий множитель $11$.

НОК(8, 22) = $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 11 = 8 \cdot 11 = 88$.

Наименьшее общее кратное чисел 8 и 22 равно 88. Все остальные общие кратные будут кратны 88.

Найдём несколько общих кратных, умножая НОК на натуральные числа:

• $88 \cdot 1 = 88$
• $88 \cdot 2 = 176$
• $88 \cdot 3 = 264$

Ответ: Несколько общих кратных: 88, 176, 264. Наименьшее общее кратное: 88.

572 Найдите значение выражения, воспользовавшись распределительным свойством: $9 \cdot 23 + 25 \cdot 17 + 16 \cdot 23$.

Для решения данного примера воспользуемся распределительным свойством умножения относительно сложения: $a \cdot c + b \cdot c = (a+b) \cdot c$.

Исходное выражение: $9 \cdot 23 + 25 \cdot 17 + 16 \cdot 23$.

Сгруппируем слагаемые, имеющие общий множитель 23:

$(9 \cdot 23 + 16 \cdot 23) + 25 \cdot 17$

Применим распределительное свойство, вынеся общий множитель 23 за скобки:

$(9 + 16) \cdot 23 + 25 \cdot 17$

Выполним сложение в скобках:

$25 \cdot 23 + 25 \cdot 17$

Теперь у получившихся слагаемых есть новый общий множитель 25. Снова применим распределительное свойство:

$25 \cdot (23 + 17)$

Выполним сложение в скобках:

$25 \cdot 40$

Теперь вычислим произведение:

$25 \cdot 40 = 1000$

Ответ: 1000