Номер 569, страница 148 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

7.3. Равенство фигур. Глава 7. Треугольники и четырёхугольники - номер 569, страница 148.

569 Анализируем и ищем способ копирования

Треугольник, изображённый на рисунке 7.27, носит название «треугольник Серпинского» в честь создавшего его польского математика.

1) Рассмотрите его и ответьте на вопросы:

а) каков вид треугольников; б) есть ли среди них равные (приведите пример); в) во сколько раз сторона красного треугольника меньше стороны большого треугольника? сторона синего треугольника меньше стороны красного? сторона жёлтого меньше стороны синего?

Рис. 7.26

2) Подсчитайте число всех треугольников на рисунке.

Подсказка. Равные треугольники считайте отдельно.

3) Расскажите алгоритм построения треугольника Серпинского.

Рис. 7.27

1)

а) Все треугольники, изображённые на рисунке, являются равносторонними треугольниками. Это следует из алгоритма построения треугольника Серпинского, который начинается с равностороннего треугольника и на каждом шаге создаёт новые, подобные ему треугольники.

Ответ: все треугольники равносторонние.

б) Да, на рисунке есть равные (конгруэнтные) треугольники. Например, все три синих треугольника равны между собой. Также все девять жёлтых треугольников равны друг другу.

Ответ: да, есть. Например, три синих треугольника равны между собой.

в) Для ответа на этот вопрос примем сторону самого большого треугольника за $L$.

Розовый треугольник образован соединением середин сторон большого треугольника. Следовательно, его сторона в 2 раза меньше стороны большого треугольника ($L_{розовый} = L/2$).

Синие треугольники образованы внутри угловых треугольников со стороной $L/2$. Значит, сторона синего треугольника равна половине этой длины, то есть $L_{синий} = (L/2)/2 = L/4$. Таким образом, сторона синего треугольника в 2 раза меньше стороны розового треугольника ($L_{розовый}/L_{синий} = (L/2)/(L/4) = 2$).

Жёлтые треугольники образованы внутри угловых треугольников со стороной $L/4$. Значит, сторона жёлтого треугольника равна $L_{жёлтый} = (L/4)/2 = L/8$. Таким образом, сторона жёлтого треугольника в 2 раза меньше стороны синего треугольника ($L_{синий}/L_{жёлтый} = (L/4)/(L/8) = 2$).

Ответ: сторона розового треугольника в 2 раза меньше стороны большого; сторона синего треугольника в 2 раза меньше стороны розового; сторона жёлтого треугольника в 2 раза меньше стороны синего.

2) Подсчитаем все треугольники на рисунке, включая составные (те, которые состоят из нескольких меньших). Будем считать только треугольники, ориентированные вершиной вверх, как и все цветные треугольники.

• Самые маленькие треугольники (жёлтые): 9 штук.
• Треугольники следующего размера (синие): 3 штуки.
• Треугольник следующего размера (розовый): 1 штука.
• Составные треугольники, по размеру равные розовому. Это три угловых "ветви" большого треугольника (например, верхняя часть, состоящая из 1 синего, 3 жёлтых треугольников и пустых пространств между ними): 3 штуки.
• Самый большой треугольник, который охватывает всю фигуру: 1 штука.

Итого общее число треугольников: $9 + 3 + 1 + 3 + 1 = 17$.

Ответ: 17.

3) Алгоритм построения треугольника Серпинского является рекурсивным и состоит из следующих шагов:

1. Начать с цельного равностороннего треугольника.
2. Найти середины трёх его сторон.
3. Соединить эти три точки. Это разделит исходный треугольник на четыре меньших равносторонних треугольника.
4. Удалить (или игнорировать) центральный из этих четырёх треугольников (тот, который обращён вершиной вниз).
5. Повторить шаги 2-4 для каждого из трёх оставшихся угловых треугольников.

Этот процесс повторяется бесконечно для получения идеального фрактала. На рисунке показан результат после трёх итераций.

Ответ: алгоритм заключается в последовательном делении равностороннего треугольника на четыре меньших и удалении центрального из них, с последующим повторением этой процедуры для всех оставшихся треугольников.