Номер 564, страница 147 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

7.3. Равенство фигур. Глава 7. Треугольники и четырёхугольники - номер 564, страница 147.

564 Начертите прямоугольник, обозначьте его. Проведите диагонали и обозначьте точку их пересечения. Перечислите все получившиеся треугольники. Есть ли среди них равные треугольники? Назовите их.

Начертите прямоугольник, обозначьте его. Проведите диагонали и обозначьте точку их пересечения.

Выполним построение согласно заданию. Начертим прямоугольник и обозначим его вершины буквами A, B, C и D. Проведём в нём диагонали AC и BD. Точку их пересечения обозначим буквой O. Все дальнейшие рассуждения будут основаны на этом построении.

Перечислите все получившиеся треугольники.

В результате построения диагонали делят прямоугольник на 8 треугольников. Их можно разделить на две группы:
1. Четыре треугольника, образованные отрезками диагоналей и сторонами прямоугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$, $\triangle DOA$.
2. Четыре прямоугольных треугольника, каждый из которых образован двумя сторонами и одной диагональю прямоугольника: $\triangle ABC$, $\triangle ADC$, $\triangle ABD$, $\triangle BCD$.

Ответ: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$, $\triangle DOA$, $\triangle ABC$, $\triangle ADC$, $\triangle ABD$, $\triangle BCD$.

Есть ли среди них равные треугольники? Назовите их.

Да, среди этих треугольников есть равные. Их равенство можно доказать, используя свойства прямоугольника:
- Противоположные стороны прямоугольника равны ($AB = CD$, $BC = AD$).
- Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам ($AC = BD$; $AO = OC = BO = OD$).

Исходя из этих свойств, можно выделить следующие группы равных треугольников:
1. $\triangle AOB = \triangle COD$. Эти треугольники равны по трём сторонам: $AB = CD$ (как противоположные стороны прямоугольника), $AO = CO$ и $BO = DO$ (так как диагонали делятся точкой пересечения пополам).
2. $\triangle BOC = \triangle DOA$. Эти треугольники также равны по трём сторонам: $BC = DA$ (как противоположные стороны), $BO = DO$ и $CO = AO$.
3. $\triangle ABC = \triangle ADC = \triangle BAD = \triangle BCD$. Все четыре больших прямоугольных треугольника равны между собой. Например, $\triangle ABC$ и $\triangle ADC$ равны, так как у них общая гипотенуза $AC$ и равные катеты $BC=AD$. Так как диагонали прямоугольника равны ($AC=BD$), то все четыре треугольника этой группы равны между собой.

Ответ: Да, есть. Равными являются следующие группы треугольников:
- $\triangle AOB$ и $\triangle COD$;
- $\triangle BOC$ и $\triangle DOA$;
- $\triangle ABC$, $\triangle ADC$, $\triangle ABD$ и $\triangle BCD$.