Номер 559, страница 146 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

7.3. Равенство фигур. Глава 7. Треугольники и четырёхугольники - номер 559, страница 146.

559 АНАЛИЗИРУЕМ И ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ

1) Начертите прямоугольник, обозначьте его и проведите одну диагональ. Диагональ разделила прямоугольник на два равных треугольника. Покажите на чертеже и назовите их равные стороны и равные углы.

2) Возьмите вырезанный из бумаги прямоугольник и разрежьте его по диагонали. Сложите из получившихся равных треугольников равнобедренный треугольник.

3) Равнобедренный треугольник $ABC$ (рис. 7.21) разрезали по отрезку $BO$. Каков вид получившихся треугольников? Из этих треугольников сложили прямоугольник. Нарисуйте его. Какой из сторон треугольника равна диагональ прямоугольника?

Рис. 7.20

Рис. 7.21

ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ (560–562)

560 1) Начертите в тетради круг и разделите его отрезком на две равные части. Как называется этот отрезок? Разделите круг на четыре равные части.

2) Как путём перегибания можно найти центр круга?

1) Начертим прямоугольник $ABCD$ и проведём в нём диагональ $AC$. Эта диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника: $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADC $. Равенство этих треугольников следует из равенства трёх сторон (по признаку SSS):
- $AB = CD$ (как противоположные стороны прямоугольника);
- $BC = DA$ (как противоположные стороны прямоугольника);
- $AC$ — общая сторона.
Поскольку треугольники равны, то равны и их соответствующие углы:
- $\angle B = \angle D = 90^\circ$ (как углы прямоугольника);
- $\angle BAC = \angle DCA$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$);
- $\angle BCA = \angle DAC$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$).
Ответ: Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника ($ \triangle ABC $ и $ \triangle ADC $). Их равные стороны: $AB = CD$, $BC = DA$, и общая сторона $AC$. Их равные углы: $\angle B = \angle D = 90^\circ$, $\angle BAC = \angle DCA$ и $\angle BCA = \angle DAC$.

2) После разрезания прямоугольника по диагонали получаются два равных прямоугольных треугольника. Чтобы сложить из них равнобедренный треугольник, нужно приложить их друг к другу вдоль одного из равных катетов (коротких сторон). Например, если взять два полученных треугольника и соединить их по катету $AB$, получится новый, больший треугольник. Две его стороны будут равны, так как они являются гипотенузами исходных равных треугольников. Основание нового треугольника будет состоять из двух других катетов и будет в два раза длиннее одного из них. Так как у полученного треугольника две стороны равны, он является равнобедренным.
Ответ: Чтобы получить равнобедренный треугольник, нужно сложить два полученных прямоугольных треугольника вдоль одного из их равных катетов.

3) В равнобедренном треугольнике $ABC$ отрезок $BO$ соединяет вершину $B$ с серединой основания $AC$ (из рисунка видно, что $AO = OC$). Следовательно, $BO$ является медианой, проведенной к основанию, а значит, и высотой. Таким образом, $\angle AOB = \angle COB = 90^\circ$. При разрезании по отрезку $BO$ получаются два равных прямоугольных треугольника: $ \triangle ABO $ и $ \triangle CBO $.
Из этих двух равных прямоугольных треугольников можно сложить прямоугольник. Стороны этого прямоугольника будут равны катетам этих треугольников, то есть отрезкам $AO$ и $BO$. Для этого нужно один треугольник ($ \triangle ABO $) оставить на месте, а второй ($ \triangle CBO $) приложить к нему так, чтобы получился прямоугольник со сторонами $AO$ и $BO$.
Диагональю этого нового прямоугольника будет гипотенуза треугольников $ \triangle ABO $ и $ \triangle CBO $. Гипотенузой в данном случае является сторона $AB$ (или равная ей сторона $BC$) исходного равнобедренного треугольника.
Ответ: В результате разрезания получились два равных прямоугольных треугольника. Диагональ сложенного из них прямоугольника равна боковой стороне ($AB$ или $BC$) исходного равнобедренного треугольника.