Номер 557, страница 146 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

7.3. Равенство фигур. Глава 7. Треугольники и четырёхугольники - номер 557, страница 146.

Рис. 7.19

557 НАБЛЮДАЕМ И РАССУЖДАЕМ

1) У двух многоугольников, изображённых на рисунке 7.19, есть равные элементы. Назовите их. Равны ли эти многоугольники?

2) Верны ли утверждения?

а) Если у двух треугольников углы попарно равны, то равны и сами треугольники.

б) Если у двух четырёхугольников стороны попарно равны, то равны и сами четырёхугольники.

С помощью рисунка 7.19 опровергните эти утверждения.

1) На рисунке 7.19 а) у треугольников $ABC$ и $EDK$ можно заметить равенство соответствующих углов: $\angle A = \angle E$, $\angle B = \angle D$, $\angle C = \angle K$. На рисунке 7.19 б) у четырехугольников $ABCD$ и $KMNO$ можно предположить равенство длин соответствующих сторон: $AB = KM$, $BC = MN$, $CD = NO$, $DA = OK$.
Однако сами многоугольники не равны. В случае а) треугольники имеют разные размеры (их стороны не равны). В случае б) четырехугольники имеют разную форму (их углы не равны). Два многоугольника считаются равными (конгруэнтными) только в том случае, если у них равны все соответствующие стороны и все соответствующие углы.

Ответ: На рисунке а) равными элементами являются углы, на рисунке б) — стороны. В обоих случаях многоугольники не равны.

2)

а) Утверждение «Если у двух треугольников углы попарно равны, то равны и сами треугольники» является неверным. Рисунок 7.19 а) служит контрпримером. У треугольников $ABC$ и $EDK$ соответственные углы равны, но сами треугольники не равны, поскольку их стороны имеют разную длину. Равенство трех углов одного треугольника трем углам другого является признаком их подобия, но не гарантирует их равенства (конгруэнтности).

Ответ: Утверждение неверно.

б) Утверждение «Если у двух четырехугольников стороны попарно равны, то равны и сами четырехугольники» является неверным. Рисунок 7.19 б) служит контрпримером. Четырехугольники $ABCD$ и $KMNO$ (например, ромб и квадрат с одинаковой длиной стороны) могут иметь попарно равные стороны. Однако их углы, а следовательно и форма, различны. В отличие от треугольника, четырехугольник не является жесткой фигурой, поэтому при одинаковых длинах сторон его углы могут быть разными. Следовательно, четырехугольники с попарно равными сторонами не обязательно равны.

Ответ: Утверждение неверно.