Страница 146 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Рис. 7.19

557 НАБЛЮДАЕМ И РАССУЖДАЕМ

1) У двух многоугольников, изображённых на рисунке 7.19, есть равные элементы. Назовите их. Равны ли эти многоугольники?

2) Верны ли утверждения?

а) Если у двух треугольников углы попарно равны, то равны и сами треугольники.

б) Если у двух четырёхугольников стороны попарно равны, то равны и сами четырёхугольники.

С помощью рисунка 7.19 опровергните эти утверждения.

1) На рисунке 7.19 а) у треугольников $ABC$ и $EDK$ можно заметить равенство соответствующих углов: $\angle A = \angle E$, $\angle B = \angle D$, $\angle C = \angle K$. На рисунке 7.19 б) у четырехугольников $ABCD$ и $KMNO$ можно предположить равенство длин соответствующих сторон: $AB = KM$, $BC = MN$, $CD = NO$, $DA = OK$.
Однако сами многоугольники не равны. В случае а) треугольники имеют разные размеры (их стороны не равны). В случае б) четырехугольники имеют разную форму (их углы не равны). Два многоугольника считаются равными (конгруэнтными) только в том случае, если у них равны все соответствующие стороны и все соответствующие углы.

Ответ: На рисунке а) равными элементами являются углы, на рисунке б) — стороны. В обоих случаях многоугольники не равны.

2)

а) Утверждение «Если у двух треугольников углы попарно равны, то равны и сами треугольники» является неверным. Рисунок 7.19 а) служит контрпримером. У треугольников $ABC$ и $EDK$ соответственные углы равны, но сами треугольники не равны, поскольку их стороны имеют разную длину. Равенство трех углов одного треугольника трем углам другого является признаком их подобия, но не гарантирует их равенства (конгруэнтности).

Ответ: Утверждение неверно.

б) Утверждение «Если у двух четырехугольников стороны попарно равны, то равны и сами четырехугольники» является неверным. Рисунок 7.19 б) служит контрпримером. Четырехугольники $ABCD$ и $KMNO$ (например, ромб и квадрат с одинаковой длиной стороны) могут иметь попарно равные стороны. Однако их углы, а следовательно и форма, различны. В отличие от треугольника, четырехугольник не является жесткой фигурой, поэтому при одинаковых длинах сторон его углы могут быть разными. Следовательно, четырехугольники с попарно равными сторонами не обязательно равны.

Ответ: Утверждение неверно.

6) Если у двух четырехугольников стороны попарно равны, то равны и сами четырёхугольники.

С помощью рисунка 7.19 опровергните эти утверждения.

558 Начертите в тетради треугольник, равный треугольнику $ABC$ (рис. 7.20), но в другом положении, так, чтобы эти треугольники нельзя было совместить, передвигая по листу бумаги.

559 АНАЛИЗИРУЕМ И ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ

1) Начертите прямоугольник, обозначьте его и проведите одну диагональ. Диагональ разделила прямоугольник на два равных треугольника. Покажите на чертеже и назовите их равные стороны и равные углы.

Рис. 7.20

Задача состоит в том, чтобы начертить треугольник, который равен (конгруэнтен) исходному треугольнику ABC, но расположен так, что его нельзя совместить с треугольником ABC путем перемещения и поворота на плоскости. Такие фигуры называют зеркально-симметричными или хиральными. Чтобы получить такую фигуру, нужно выполнить осевую симметрию (зеркальное отражение) исходного треугольника.

Рассмотрим треугольник ABC, изображенный на рисунке 7.20. Он начерчен на клетчатой бумаге, что позволяет определить его свойства. Это прямоугольный треугольник, так как его стороны AC и BC параллельны линиям сетки и образуют прямой угол. Таким образом, $ \angle C = 90^\circ $. Длины катетов, измеренные в единицах сетки (клетках), равны: $AC = 4$ и $BC = 6$.

Для построения требуемого треугольника выполним его зеркальное отражение относительно одной из сторон, например, относительно катета BC. Обозначим новый треугольник A'BC.

• Точка B при отражении относительно прямой BC остается на месте, так как лежит на оси симметрии.
• Точка C также остается на месте.
• Точка A находится на расстоянии 4 клеток от прямой BC. Ее отражение, точка A', будет находиться на том же перпендикуляре к прямой BC, но по другую сторону от нее, на расстоянии 4 клеток.

Ниже приведен чертеж, на котором изображен исходный треугольник ABC (красным цветом) и полученный в результате отражения треугольник A'BC (синим цветом).

Полученный треугольник A'BC равен треугольнику ABC, так как у них общая сторона BC, а стороны AC и A'C равны по построению ($AC = A'C = 4$). Поскольку оба треугольника прямоугольные, они равны по двум катетам. Однако, как бы мы ни двигали и ни вращали треугольник A'BC на плоскости, мы не сможем совместить его с треугольником ABC. Это связано с их разной "ориентацией". Если обходить вершины треугольника ABC в порядке A → C → B, поворот у вершины C происходит против часовой стрелки. В то же время, при обходе вершин треугольника A'BC в порядке A' → C → B, поворот у вершины C происходит по часовой стрелке. Движение на плоскости не может изменить направление обхода вершин.

Ответ: Необходимо начертить треугольник, являющийся зеркальным отражением треугольника ABC. Пример такого построения, где отражение выполнено относительно стороны BC, показан на чертеже выше.

559 АНАЛИЗИРУЕМ И ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ

1) Начертите прямоугольник, обозначьте его и проведите одну диагональ. Диагональ разделила прямоугольник на два равных треугольника. Покажите на чертеже и назовите их равные стороны и равные углы.

2) Возьмите вырезанный из бумаги прямоугольник и разрежьте его по диагонали. Сложите из получившихся равных треугольников равнобедренный треугольник.

3) Равнобедренный треугольник $ABC$ (рис. 7.21) разрезали по отрезку $BO$. Каков вид получившихся треугольников? Из этих треугольников сложили прямоугольник. Нарисуйте его. Какой из сторон треугольника равна диагональ прямоугольника?

Рис. 7.20

Рис. 7.21

ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ (560–562)

560 1) Начертите в тетради круг и разделите его отрезком на две равные части. Как называется этот отрезок? Разделите круг на четыре равные части.

2) Как путём перегибания можно найти центр круга?

1) Начертим прямоугольник $ABCD$ и проведём в нём диагональ $AC$. Эта диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника: $ \triangle ABC $ и $ \triangle ADC $. Равенство этих треугольников следует из равенства трёх сторон (по признаку SSS):
- $AB = CD$ (как противоположные стороны прямоугольника);
- $BC = DA$ (как противоположные стороны прямоугольника);
- $AC$ — общая сторона.
Поскольку треугольники равны, то равны и их соответствующие углы:
- $\angle B = \angle D = 90^\circ$ (как углы прямоугольника);
- $\angle BAC = \angle DCA$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$);
- $\angle BCA = \angle DAC$ (как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC$).
Ответ: Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника ($ \triangle ABC $ и $ \triangle ADC $). Их равные стороны: $AB = CD$, $BC = DA$, и общая сторона $AC$. Их равные углы: $\angle B = \angle D = 90^\circ$, $\angle BAC = \angle DCA$ и $\angle BCA = \angle DAC$.

2) После разрезания прямоугольника по диагонали получаются два равных прямоугольных треугольника. Чтобы сложить из них равнобедренный треугольник, нужно приложить их друг к другу вдоль одного из равных катетов (коротких сторон). Например, если взять два полученных треугольника и соединить их по катету $AB$, получится новый, больший треугольник. Две его стороны будут равны, так как они являются гипотенузами исходных равных треугольников. Основание нового треугольника будет состоять из двух других катетов и будет в два раза длиннее одного из них. Так как у полученного треугольника две стороны равны, он является равнобедренным.
Ответ: Чтобы получить равнобедренный треугольник, нужно сложить два полученных прямоугольных треугольника вдоль одного из их равных катетов.

3) В равнобедренном треугольнике $ABC$ отрезок $BO$ соединяет вершину $B$ с серединой основания $AC$ (из рисунка видно, что $AO = OC$). Следовательно, $BO$ является медианой, проведенной к основанию, а значит, и высотой. Таким образом, $\angle AOB = \angle COB = 90^\circ$. При разрезании по отрезку $BO$ получаются два равных прямоугольных треугольника: $ \triangle ABO $ и $ \triangle CBO $.
Из этих двух равных прямоугольных треугольников можно сложить прямоугольник. Стороны этого прямоугольника будут равны катетам этих треугольников, то есть отрезкам $AO$ и $BO$. Для этого нужно один треугольник ($ \triangle ABO $) оставить на месте, а второй ($ \triangle CBO $) приложить к нему так, чтобы получился прямоугольник со сторонами $AO$ и $BO$.
Диагональю этого нового прямоугольника будет гипотенуза треугольников $ \triangle ABO $ и $ \triangle CBO $. Гипотенузой в данном случае является сторона $AB$ (или равная ей сторона $BC$) исходного равнобедренного треугольника.
Ответ: В результате разрезания получились два равных прямоугольных треугольника. Диагональ сложенного из них прямоугольника равна боковой стороне ($AB$ или $BC$) исходного равнобедренного треугольника.

560 1) Начертите в тетради круг и разделите его отрезком на две равные части. Как называется этот отрезок? Разделите круг на четыре равные части.

2) Как путём перегибания можно найти центр круга?

1)

Чтобы разделить круг на две равные части, необходимо провести отрезок, который соединяет две точки на окружности и проходит через её центр. Такой отрезок называется диаметром. Он делит круг на два одинаковых полукруга.

Чтобы разделить круг на четыре равные части, нужно провести два диаметра, которые перпендикулярны друг другу. Точка их пересечения будет центром круга, а сами диаметры разделят круг на четыре равных сектора.

Ответ: Отрезок, делящий круг на две равные части, называется диаметром. Чтобы разделить круг на четыре равные части, нужно провести два взаимно перпендикулярных диаметра.

2)

Чтобы найти центр круга путём перегибания, нужно согнуть круг пополам, чтобы его края совпали. Линия сгиба будет первым диаметром ($d_1$). Затем нужно развернуть круг и снова согнуть его пополам, но уже по другой линии, получив второй диаметр ($d_2$). Точка пересечения этих двух линий сгиба (диаметров) и будет являться центром круга, так как все диаметры пересекаются в одной точке — центре.

Ответ: Нужно дважды согнуть круг пополам по разным линиям сгиба; точка пересечения этих сгибов является центром круга.