Страница 145 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Вырежите из бумаги два равных треугольника; обозначьте их $ABC$ и $KLM$. Назовите равные элементы этих треугольников. Запишите соответствующие равенства.

Проверьте с помощью кальки, что пятиугольники, изображённые на рисунке 7.17, равны. Назовите все их равные элементы.

Продолжите предложение:

а) Две окружности равны, если...

б) Два квадрата равны, если...

в) Два прямоугольника равны, если...

Равные элементы пятиугольников:

Равные стороны:

$AB = PK$

$BC = KL$

$CD = LM$

$DE = MN$

$EA = NP$

Равные углы:

$\angle EAB = \angle NPK$

$\angle ABC = \angle PKL$

$\angle BCD = \angle KLM$

$\angle CDE = \angle LMN$

$\angle DEA = \angle MNP$

Рис. 7.17

Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. Если треугольники ABC и KLM равны ($ \triangle ABC = \triangle KLM $), то при наложении их соответственные вершины (A и K, B и L, C и M), стороны и углы совпадут. Следовательно, у равных треугольников равны соответственные элементы.

Ответ: Равными элементами являются соответственные стороны и углы. Соответствующие равенства: $ AB = KL $, $ BC = LM $, $ AC = KM $, $ \angle A = \angle K $, $ \angle B = \angle L $, $ \angle C = \angle M $.

Равенство пятиугольников, как и любых других фигур, означает, что их можно полностью совместить наложением. Если пятиугольники ABCDE и KLMNP, изображённые на рисунке, равны, то их соответственные стороны и углы будут равны. Судя по визуальному соответствию и маркировке на рисунке (например, $ \angle A = \angle K $ и $ \angle D = \angle N $), вершины одного пятиугольника соответствуют вершинам другого в следующем порядке: A ↔ K, B ↔ L, C ↔ M, D ↔ N, E ↔ P.

Ответ: Равные элементы (соответственные стороны и углы): $AB = KL$, $BC = LM$, $CD = MN$, $DE = NP$, $EA = PK$, $\angle A = \angle K$, $\angle B = \angle L$, $\angle C = \angle M$, $\angle D = \angle N$, $\angle E = \angle P$.

а) Две окружности равны, если равны их радиусы. Окружность — это геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от заданной точки, центра окружности. Это расстояние (радиус) полностью определяет размер и форму окружности. Поэтому, если радиусы двух окружностей равны, они равны.

Ответ: Две окружности равны, если равны их радиусы.

б) Два квадрата равны, если равны их стороны. Квадрат — это четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые ($90^\circ$). Таким образом, длина одной стороны полностью определяет размеры и форму квадрата. Если стороны двух квадратов равны, то и сами квадраты равны.

Ответ: Два квадрата равны, если равны их стороны.

в) Два прямоугольника равны, если соответственно равны их смежные стороны (длина и ширина). Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые. Его размеры и форма определяются длинами двух смежных сторон. Если у двух прямоугольников соответствующие длины и ширины равны, то их можно совместить наложением, а значит, они равны.

Ответ: Два прямоугольника равны, если соответственно равны их смежные стороны (длина и ширина).

556 С помощью кальки найдите на рисунке 7.18 четырёхугольник, равный четырёхугольнику $ABCD$.

Рис. 7.18

Чтобы найти четырёхугольник, равный четырёхугольнику $ABCD$, необходимо определить, какой из предложенных вариантов можно совместить с $ABCD$ путём наложения. Это можно сделать мысленно или с помощью кальки, как предложено в условии. Сравним исходный четырёхугольник с каждым из пронумерованных.

1. При сравнении с четырёхугольником под номером 1 видно, что его углы и пропорции сторон отличаются от четырёхугольника $ABCD$. Например, его левая боковая сторона наклонена под другим углом, а соотношение длин оснований иное. Следовательно, эти фигуры не равны.

2. Четырёхугольник под номером 2 при мысленном наложении полностью совпадает с четырёхугольником $ABCD$. Их соответствующие стороны равны по длине, и соответствующие углы равны по величине. Таким образом, четырёхугольник 2 равен четырёхугольнику $ABCD$.

3. Четырёхугольник под номером 3 имеет другую форму. Даже если мысленно повернуть его для удобства сравнения, становится очевидно, что его стороны и углы не совпадают со сторонами и углами $ABCD$.

Таким образом, единственной фигурой, равной четырёхугольнику $ABCD$, является фигура под номером 2.

Ответ: 2.