Страница 144 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

552 ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ И НАБЛЮДАЕМ

Измерьте и запишите величину угла между диагональю и большей стороной прямоугольника, изображённого на рисунке 7.9 (см. с. 140). Вычислите величину угла между диагональю и меньшей стороной прямоугольника. С какой из сторон прямоугольника диагональ образует больший угол?

Измерьте и запишите величину угла между диагональю и большей стороной прямоугольника

Поскольку изображение (рисунок 7.9) недоступно, точное измерение провести невозможно. Решим задачу на основе общих геометрических свойств и приведем пример.

Для выполнения этого шага необходимо приложить транспортир к вершине угла, совместив его центр с вершиной, а одну из сторон угла (большую сторону прямоугольника) — с нулевой отметкой шкалы транспортира. Затем посмотреть, на какое деление шкалы указывает диагональ.

Предположим, что в результате измерения мы получили, что угол между диагональю и большей стороной равен $32^\circ$.

Ответ: $32^\circ$ (значение является примером).

Вычислите величину угла между диагональю и меньшей стороной прямоугольника

Диагональ делит прямоугольник на два равных прямоугольных треугольника. Внутренние углы прямоугольника равны $90^\circ$. В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90^\circ$.

Пусть $\alpha$ — это угол между диагональю и большей стороной, а $\beta$ — это угол между диагональю и меньшей стороной. Эти два угла являются острыми углами одного и того же прямоугольного треугольника.

Следовательно, их сумма равна $90^\circ$:

$\alpha + \beta = 90^\circ$

Используя значение из предыдущего пункта ($\alpha = 32^\circ$), вычислим $\beta$:

$\beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 32^\circ = 58^\circ$

Ответ: $58^\circ$ (значение вычислено на основе примера).

С какой из сторон прямоугольника диагональ образует больший угол?

Сравним полученные углы: угол с большей стороной $\alpha = 32^\circ$, а угол с меньшей стороной $\beta = 58^\circ$. Очевидно, что $58^\circ > 32^\circ$.

Этот вывод можно сделать и без конкретных измерений. В любом треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный диагональю и двумя сторонами прямоугольника. Угол $\alpha$ (между диагональю и большей стороной) лежит напротив меньшей стороны. Угол $\beta$ (между диагональю и меньшей стороной) лежит напротив большей стороны. Так как большая сторона длиннее меньшей, то и угол, лежащий напротив нее, будет больше.

Следовательно, диагональ всегда образует больший угол с меньшей стороной прямоугольника.

Ответ: диагональ образует больший угол с меньшей стороной прямоугольника.

553 В 12-этажном доме-башне на каждом этаже расположено 5 квартир. Количество комнат в квартирах в порядке возрастания номеров квартир меняется так: 3-комнатная, 2-комнатная, 1-комнатная, 4-комнатная, 3-комнатная. Петя живёт в квартире № 28. На каком этаже находится эта квартира и сколько в ней комнат?

На каком этаже находится эта квартира

В доме на каждом этаже расположено 5 квартир. Чтобы определить этаж, на котором находится квартира № 28, необходимо разделить её номер на количество квартир на этаже.

$28 \div 5 = 5$ (остаток 3)

Целая часть от деления (5) показывает количество полностью заселённых этажей перед искомым. Это квартиры с 1 по 25 ($5 \times 5 = 25$). Квартира № 28 находится на следующем этаже, то есть на 6-м.

Ответ: квартира находится на 6-м этаже.

...и сколько в ней комнат?

Чтобы определить количество комнат, нужно найти порядковый номер квартиры на её этаже. Остаток от деления номера квартиры на количество квартир на этаже (который мы уже нашли, и он равен 3) как раз и указывает на этот порядковый номер. Значит, квартира № 28 является третьей по счёту на 6-м этаже.

По условию, количество комнат в квартирах на каждом этаже меняется в следующем порядке:

1-я квартира — 3-комнатная;
2-я квартира — 2-комнатная;
3-я квартира — 1-комнатная;
4-я квартира — 4-комнатная;
5-я квартира — 3-комнатная.

Поскольку квартира № 28 является третьей на своём этаже, в ней 1 комната.

Ответ: в квартире 1 комната.

554 Разложите число на простые множители:

а) $1515$;

б) $1440$.

а) Чтобы разложить число 1515 на простые множители, будем последовательно делить его на простые числа, начиная с наименьшего.

1. Число 1515 оканчивается на 5, значит, оно делится на 5.

$1515 : 5 = 303$

2. Теперь разложим число 303. Проверим его делимость на 3. Сумма цифр числа 303 равна $3 + 0 + 3 = 6$. Так как 6 делится на 3, то и 303 делится на 3.

$303 : 3 = 101$

3. Число 101 является простым (оно не делится без остатка на другие простые числа, кроме 1 и самого себя).

Таким образом, мы нашли все простые множители числа 1515. Запишем их в виде произведения:

$1515 = 3 \cdot 5 \cdot 101$

Ответ: $1515 = 3 \cdot 5 \cdot 101$

б) Разложим на простые множители число 1440.

1. Число 1440 четное, так как оканчивается на 0. Будем делить его на 2, пока это возможно.

$1440 : 2 = 720$

$720 : 2 = 360$

$360 : 2 = 180$

$180 : 2 = 90$

$90 : 2 = 45$

2. Полученное число 45 не делится на 2. Проверим делимость на следующее простое число — 3. Сумма цифр числа 45 равна $4 + 5 = 9$. Так как 9 делится на 3, то и 45 делится на 3.

$45 : 3 = 15$

$15 : 3 = 5$

3. Полученное число 5 является простым. Делим его на 5.

$5 : 5 = 1$

Разложение окончено. Теперь запишем все найденные простые множители в виде произведения. Мы получили пять двоек, две тройки и одну пятерку.

$1440 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5$

Ответ: $1440 = 2^5 \cdot 3^2 \cdot 5$

Разделите число на простые множители: а) 1815; б) 1178.

555

Вычислите: $1000 - 10 \cdot 7^2 + 15^2 : 9.$

Для вычисления значения данного выражения необходимо соблюдать порядок выполнения арифметических действий. Порядок действий следующий: сначала возведение в степень, затем умножение и деление (слева направо), и в последнюю очередь сложение и вычитание (слева направо).

Исходное выражение: $1000 - 10 \cdot 7^2 + 15^2 : 9$.

1. Выполним возведение в степень:

$7^2 = 7 \cdot 7 = 49$

$15^2 = 15 \cdot 15 = 225$

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$1000 - 10 \cdot 49 + 225 : 9$

2. Теперь выполним умножение и деление в порядке их следования (слева направо):

$10 \cdot 49 = 490$

$225 : 9 = 25$

Выражение примет следующий вид:

$1000 - 490 + 25$

3. Выполним вычитание и сложение в порядке их следования (слева направо):

$1000 - 490 = 510$

$510 + 25 = 535$

Ответ: 535