Номер 540, страница 142 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

7.2. Прямоугольники. Глава 7. Треугольники и четырёхугольники - номер 540, страница 142.

Рис. 7.11

540 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Для каждого утверждения укажите рисунок, который его опровергает (рис. 7.11).

а) Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого есть две пары равных сторон.

б) Квадрат — это четырёхугольник, у которого все стороны равны.

в) Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого есть прямые углы.

а) Утверждение «Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого есть две пары равных сторон» является неверным, так как это неполное определение. Чтобы его опровергнуть, необходимо найти четырёхугольник, который удовлетворяет этому условию (имеет две пары равных сторон), но не является прямоугольником. Таким контрпримером служит фигура, изображенная на рисунке 2. Эта фигура — дельтоид (кайт). У неё есть две пары равных смежных сторон. Если принять сторону клетки за 1, то можно вычислить длины сторон фигуры. Её вершины расположены в точках с координатами (1,1), (3,2), (6,1) и (3,0). Длины смежных сторон, сходящихся в вершине (1,1), равны $ \sqrt{(3-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{5} $ и $ \sqrt{(3-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{5} $. Длины смежных сторон, сходящихся в вершине (6,1), равны $ \sqrt{(6-3)^2 + (1-2)^2} = \sqrt{10} $ и $ \sqrt{(6-3)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{10} $. Таким образом, у фигуры есть две пары равных сторон. Однако её углы не прямые, следовательно, она не является прямоугольником. Рисунок 2 опровергает данное утверждение.
Ответ: Рисунок 2.

б) Утверждение «Квадрат – это четырёхугольник, у которого все стороны равны» является неверным, так как это неполное определение квадрата. Чтобы его опровергнуть, нужно найти четырёхугольник, у которого все стороны равны, но который не является квадратом. Таким контрпримером является фигура на рисунке 3 — это ромб. У ромба все стороны равны. Проверим это для данной фигуры, приняв сторону клетки за 1. Вершины фигуры находятся в точках (0,1), (3,2), (6,1) и (3,0). Длина каждой стороны равна, например, $ \sqrt{(3-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{3^2 + 1^2} = \sqrt{10} $. Однако, чтобы четырёхугольник был квадратом, все его углы должны быть прямыми. У ромба на рисунке 3 углы не являются прямыми. Следовательно, рисунок 3 опровергает данное утверждение.
Ответ: Рисунок 3.

в) Утверждение «Прямоугольник – это четырёхугольник, у которого есть прямые углы» является неверным. Оно подразумевает, что любой четырёхугольник, имеющий прямые углы, является прямоугольником. Чтобы опровергнуть это утверждение, нужно найти четырёхугольник, у которого есть прямые углы, но который не является прямоугольником. Таким контрпримером является фигура на рисунке 1. Эта фигура — прямоугольная трапеция. Два её угла (левый верхний и левый нижний) являются прямыми, так как их стороны лежат на линиях сетки. Однако два других угла не прямые, а у прямоугольника все четыре угла должны быть прямыми. Таким образом, рисунок 1 опровергает данное утверждение.
Ответ: Рисунок 1.