Страница 135 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

13. Объясните, почему:

a) сумма $345 + 1420$ делится на 5;

б) сумма $128 + 821$ не делится на 2;

в) произведение $87 \cdot 112$ делится на 3.

а)

Согласно свойству делимости суммы, если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число. Мы проверяем делимость на 5.
Воспользуемся признаком делимости на 5: число делится на 5 без остатка, если его последняя цифра – 0 или 5.
Первое слагаемое – 345. Оно оканчивается на 5, следовательно, 345 делится на 5.
Второе слагаемое – 1420. Оно оканчивается на 0, следовательно, 1420 также делится на 5.
Так как оба слагаемых делятся на 5, то и их сумма $345 + 1420$ делится на 5.
Ответ: сумма $345 + 1420$ делится на 5, потому что каждое из слагаемых, 345 и 1420, делится на 5.

б)

Мы проверяем делимость на 2. Число делится на 2, если оно является четным (оканчивается на 0, 2, 4, 6 или 8).
Первое слагаемое – 128. Оно оканчивается на 8, значит, это четное число, и оно делится на 2.
Второе слагаемое – 821. Оно оканчивается на 1, значит, это нечетное число, и оно не делится на 2.
Сумма четного и нечетного чисел всегда является нечетным числом. Нечетные числа не делятся на 2 без остатка.
Следовательно, сумма $128 + 821$ не делится на 2.
Ответ: сумма $128 + 821$ не делится на 2, так как одно слагаемое (128) является четным, а второе (821) – нечетным, и их сумма будет нечетным числом.

в)

Согласно свойству делимости произведения, если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и всё произведение делится на это число. Мы проверяем делимость на 3.
Воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3.
Проверим первый множитель – 87. Сумма его цифр равна $8 + 7 = 15$.
Число 15 делится на 3 ($15 \div 3 = 5$), следовательно, и число 87 делится на 3.
Поскольку один из множителей (87) делится на 3, то и все произведение $87 \cdot 112$ будет делиться на 3.
Ответ: произведение $87 \cdot 112$ делится на 3, так как один из его множителей, число 87, делится на 3.

14. Найдите неполное частное и остаток от деления 80 на 7; запишите равенство, связывающее делимое, делитель, неполное частное и остаток.

Для того чтобы найти неполное частное и остаток от деления 80 на 7, необходимо выполнить деление с остатком.

1. Найдем наибольшее число, не превышающее 80, которое делится на 7 без остатка. Ближайшие к 80 кратные числа для 7 это $7 \times 11 = 77$ и $7 \times 12 = 84$. Поскольку 84 больше 80, мы выбираем 77.

2. Неполное частное – это результат деления 77 на 7:

$77 : 7 = 11$

Таким образом, неполное частное равно 11.

3. Остаток – это разница между делимым (80) и числом, которое мы нашли на первом шаге (77):

$80 - 77 = 3$

Остаток равен 3. Важно проверить, что остаток (3) меньше делителя (7), что является верным ($3 < 7$).

4. Запишем равенство, которое связывает делимое ($a$), делитель ($b$), неполное частное ($q$) и остаток ($r$). Общая формула выглядит так: $a = b \cdot q + r$.

Подставив наши значения, получаем:

$80 = 7 \cdot 11 + 3$

Ответ: неполное частное равно 11, остаток равен 3. Равенство, связывающее эти числа: $80 = 7 \cdot 11 + 3$.

15. Найдите число, если известно, что при делении его на 8 в частном получается 12 и в остатке 6.

Чтобы найти искомое число, которое является делимым, нужно воспользоваться формулой деления с остатком. Формула выглядит следующим образом:

Делимое = (Делитель × Частное) + Остаток

В условии задачи нам даны все необходимые компоненты:

• Делитель равен 8.
• Частное равно 12.
• Остаток равен 6.

Подставим эти значения в формулу, чтобы найти делимое (обозначим его как $x$):

$x = (8 \cdot 12) + 6$

Сначала выполним операцию умножения в скобках:

$8 \cdot 12 = 96$

Теперь к полученному результату прибавим остаток:

$96 + 6 = 102$

Следовательно, искомое число равно 102.

Ответ: 102

16. Сколько остатков и какие могут получаться при делении некоторого числа на 5?

Согласно правилу деления с остатком, при делении любого целого числа на натуральное число d, остаток r должен быть неотрицательным и строго меньше делителя d. Это можно выразить с помощью неравенства: $0 \le r < d$.

В данном случае делитель $d = 5$. Таким образом, для остатка r должно выполняться условие: $0 \le r < 5$.

Целыми числами, удовлетворяющими этому неравенству, являются 0, 1, 2, 3 и 4.

Следовательно, всего возможно 5 различных остатков при делении на 5.

Ответ: 5 остатков: 0, 1, 2, 3, 4.

Числа на 3?

17. Сто яиц для транспортировки нужно уложить в коробки. В наличии имеются коробки для 6 яиц. Сколько таких коробок потребуется?

Чтобы найти количество коробок, необходимое для упаковки 100 яиц, нужно разделить общее количество яиц на количество яиц, которое помещается в одну коробку.

Всего яиц: 100.

Вместимость одной коробки: 6 яиц.

Разделим общее количество яиц на вместимость одной коробки:

$100 \div 6$

При делении 100 на 6 получается 16 и остаток 4. Это значит, что 16 коробок будут полностью заполнены ($16 \times 6 = 96$ яиц), но останется еще 4 яйца.

Для того чтобы упаковать оставшиеся 4 яйца, потребуется еще одна, семнадцатая, коробка.

Таким образом, общее количество необходимых коробок равно:

$16 + 1 = 17$

Ответ: 17.