Страница 132 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

512 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Семья, которая живёт в двадцатиэтажном доме-башне с одним подъездом, в квартире № 85, заказала на дом пиццу. Помогите разносчику пиццы узнать, на какой этаж он должен подняться, если известно, что на первом этаже четыре квартиры, а на всех остальных этажах по шесть квартир.

Для решения задачи необходимо пошагово определить, на каком этаже находится квартира № 85, учитывая разное количество квартир на первом и последующих этажах.

1. Сначала определим, сколько квартир находится в доме до этажа, на котором расположена квартира № 85. На первом этаже 4 квартиры. Вычтем их из номера искомой квартиры, чтобы узнать ее порядковый номер среди квартир, расположенных со второго этажа и выше:

$85 - 4 = 81$

Таким образом, квартира № 85 является 81-й по счету, если начинать отсчет со второго этажа.

2. Теперь определим, на каком по счету этаже (среди тех, где по 6 квартир) находится эта 81-я квартира. Для этого разделим 81 на 6:

$81 \div 6 = 13$ (остаток 3)

Целая часть от деления (13) показывает, что 13 этажей (со 2-го по 14-й включительно) полностью заняты. Остаток показывает, что квартира № 85 находится на следующем этаже. То есть, она расположена на 14-м по счету этаже после первого.

3. Наконец, вычислим итоговый номер этажа. Для этого к номеру первого этажа (1) прибавим количество этажей над ним (14):

$1 + 14 = 15$

Следовательно, квартира № 85 находится на 15-м этаже.

Ответ: разносчик пиццы должен подняться на 15-й этаж.

513 Летние каникулы длятся 73 дня. Каким днём недели будет первый день учебного года, если каникулы начались во вторник?

В одной неделе 7 дней, поэтому дни недели повторяются с циклом в 7 дней. Чтобы найти, каким днем недели будет первый день учебного года, нужно сначала определить, сколько полных недель прошло за время каникул.

Разделим общее количество дней каникул (73) на количество дней в неделе (7):

$73 \div 7 = 10$ с остатком 3.

Это означает, что каникулы длятся 10 полных недель и еще 3 дня. Через 10 полных недель (то есть через 70 дней) закончится понедельник, и 71-й день снова будет вторником, как и первый день каникул.

Последний день каникул — 73-й. Найдем, какой это день недели, отсчитав 3 дня от вторника (который является 71-м днем):

• 71-й день: Вторник
• 72-й день: Среда
• 73-й день: Четверг

Таким образом, последний день каникул — это четверг.

Первый день учебного года — это следующий день после окончания каникул. Следующий день после четверга — это пятница.

Ответ: пятница.

514 Сколько в октябре воскресений, если 1 октября – понедельник? а если 1 октября – пятница?

Чтобы решить задачу, необходимо знать количество дней в октябре и в неделе. В октябре 31 день, а в неделе 7 дней.
Разделим количество дней в месяце на количество дней в неделе, чтобы узнать, сколько полных недель в октябре: $31 \div 7 = 4$ с остатком 3.
Это означает, что в октябре 4 полные недели и 3 дополнительных дня. Таким образом, каждый из семи дней недели встретится в октябре как минимум 4 раза. Те три дня недели, на которые выпадают первые три числа месяца (1, 2 и 3 октября), повторятся 5 раз.

если 1 октября – понедельник
В этом случае первые три дня месяца — это понедельник, вторник и среда. Значит, именно эти дни недели встретятся в октябре 5 раз, а все остальные, включая воскресенье, — 4 раза.
Проверим это, перечислив все воскресенья. Если 1 октября — понедельник, то первое воскресенье будет 7 октября.
Даты всех воскресений в октябре: 7, 14 ($7+7$), 21 ($14+7$), 28 ($21+7$).
Следующее воскресенье ($28+7=35$) уже выходит за рамки октября.
Следовательно, в октябре будет 4 воскресенья.
Ответ: 4 воскресенья.

а если 1 октября – пятница
В этом случае первые три дня месяца — это пятница, суббота и воскресенье. Значит, именно эти три дня недели, включая воскресенье, встретятся в октябре 5 раз.
Проверим это, перечислив все воскресенья. Если 1 октября — пятница, а 2 октября — суббота, то первое воскресенье будет 3 октября.
Даты всех воскресений в октябре: 3, 10 ($3+7$), 17 ($10+7$), 24 ($17+7$), 31 ($24+7$).
Последний день октября, 31-е число, является воскресеньем.
Следовательно, в октябре будет 5 воскресений.
Ответ: 5 воскресений.

515 Подсчитайте, сколько дней в первом полугодии учебного года (с 1 сентября до Нового года), и определите, сколько в нём суббот, если 1 сентября — вторник.

Сколько дней в первом полугодии учебного года (с 1 сентября до Нового года)

Первое полугодие учебного года включает месяцы с сентября по декабрь. Чтобы найти общее количество дней в этом периоде, необходимо сложить количество дней в каждом из этих месяцев:

Сентябрь — 30 дней
Октябрь — 31 день
Ноябрь — 30 дней
Декабрь — 31 день

Суммируем количество дней:

$30 + 31 + 30 + 31 = 122$ дня.

Ответ: 122 дня.

Сколько в нём суббот, если 1 сентября — вторник

Общая продолжительность периода, как мы выяснили, составляет 122 дня. По условию задачи, 1 сентября — это вторник. Чтобы определить количество суббот, можно использовать следующий метод:

1. Найдём, сколько полных недель содержится в 122 днях. Для этого разделим общее число дней на 7 (количество дней в неделе):

$122 \div 7 = 17$ (остаток 3).

Это означает, что период состоит из 17 полных недель и ещё 3 дней.

2. В каждой полной неделе есть одна суббота, следовательно, за 17 полных недель будет 17 суббот.

3. Теперь рассмотрим оставшиеся 3 дня. Поскольку период начинается со вторника, эти 3 дня будут вторником, средой и четвергом. Среди этих дней субботы нет.

Таким образом, общее количество суббот в первом полугодии учебного года равно 17.

Ответ: 17 суббот.

516 а) Если имеющиеся карандаши разложить в коробки, по 8 штук в каждую, то останется 5 лишних карандашей. Если их разложить в коробки, по 6 штук в каждую, то тоже останется 5 лишних карандашей. Сколько имеется карандашей, если их больше 50, но меньше 100?

Подсказка. Если 5 карандашей убрать, то все оставшиеся можно будет разложить как в коробки по 8 штук, так и в коробки по 6 штук. Когда подберёте соответствующее число, не забудьте вернуть 5 карандашей.

б) В коробке лежат ложки. Когда их пересчитали десятками, то не хватило двух ложек до последнего полного десятка; когда их пересчитали дюжинами, то осталось 8 ложек. Сколько в коробке ложек, если их больше 150, но меньше 200?

Подсказка. Переформулируйте условие. «Не хватило двух ложек до полного десятка» означает «при счёте десятками осталось 8 ложек».

а)

Пусть $N$ — общее количество карандашей. По условию, при делении $N$ на 8 и на 6 в остатке получается 5. Это можно записать в виде уравнений:

$N = 8 \cdot k + 5$

$N = 6 \cdot m + 5$

где $k$ и $m$ — количество коробок.

Из этих уравнений следует, что если от общего числа карандашей отнять 5, то полученное число ($N-5$) будет делиться на 8 и на 6 без остатка. То есть, число $N-5$ является общим кратным для чисел 8 и 6.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для 8 и 6:

Разложим числа на простые множители:

$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

$6 = 2 \cdot 3$

НОК(8, 6) = $2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.

Значит, число $N-5$ должно быть кратно 24. Выпишем числа, кратные 24: 24, 48, 72, 96, 120 и т.д.

Тогда возможные значения для $N$ (добавляем обратно 5 карандашей):

$24 + 5 = 29$

$48 + 5 = 53$

$72 + 5 = 77$

$96 + 5 = 101$

По условию задачи, количество карандашей больше 50, но меньше 100 ($50 < N < 100$). Этому условию удовлетворяют два числа: 53 и 77.

Проверим их:

• $53 \div 8 = 6$ (остаток 5); $53 \div 6 = 8$ (остаток 5). Число подходит.
• $77 \div 8 = 9$ (остаток 5); $77 \div 6 = 12$ (остаток 5). Число тоже подходит.

Так как оба числа удовлетворяют всем условиям, оба являются верными решениями.

Ответ: 53 или 77 карандашей.

б)

Пусть $L$ — общее количество ложек. По условию, $150 < L < 200$.

Первое условие: «когда их пересчитали десятками, то не хватило двух ложек до последнего полного десятка». Как указано в подсказке, это означает, что при делении на 10 остаток равен $10 - 2 = 8$.

$L = 10 \cdot k + 8$

Второе условие: «когда их пересчитали дюжинами (по 12 штук), то осталось 8 ложек».

$L = 12 \cdot m + 8$

Из этих двух условий видно, что если от общего числа ложек отнять 8, то полученное число ($L-8$) будет делиться на 10 и на 12 без остатка. Значит, $L-8$ является общим кратным для чисел 10 и 12.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для 10 и 12:

Разложим числа на простые множители:

$10 = 2 \cdot 5$

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

НОК(10, 12) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Значит, число $L-8$ должно быть кратно 60. Выпишем числа, кратные 60: 60, 120, 180, 240 и т.д.

Тогда возможные значения для $L$ (добавляем обратно 8 ложек):

$60 + 8 = 68$

$120 + 8 = 128$

$180 + 8 = 188$

$240 + 8 = 248$

По условию задачи, количество ложек больше 150, но меньше 200 ($150 < L < 200$). Из найденных нами значений этому условию удовлетворяет только число 188.

Проверим его:

• $188 \div 10 = 18$ (остаток 8), что соответствует нехватке 2 ложек до 190.
• $188 \div 12 = 15$ (остаток 8).

Условия выполняются.

Ответ: 188 ложек.

517 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ В детском театре, чтобы дети лучше видели сцену, кресла в зале расставили в шахматном порядке, как показано на рисунке 6.5.

Детский Театр

30 июля

«Золушка»

Ряд 4 место 34

Цена 250 руб.

КОНТРОЛЬ

1) На билетах указаны номер места и номер ряда, в котором оно расположено. Найдите на рисунке место зрителя по его билету.

2) Катя хочет сидеть не дальше десятого ряда. Укажите наибольший номер места, который устроил бы Катю.

3) Петя вошёл в зал после третьего звонка и сел на свободное место. У него оказалось место № 195. В каком ряду это место?

4) Укажите номер места, которое расположено перед Петиным местом и находится через ряд от него.

Рис. 6.5

1)

На билете указано, что место зрителя находится в 4-м ряду и имеет номер 34. Чтобы найти это место, нужно посмотреть на схему зала (Рис. 6.5), найти четвертый по счету ряд от сцены и в этом ряду найти кресло с номером 34.
Ответ: Место № 34 в 4-м ряду.

2)

Катя хочет сидеть не дальше десятого ряда, то есть в любом из рядов с 1-го по 10-й включительно. Нам нужно найти наибольший номер места в этих рядах. Для этого посчитаем общее количество мест в первых десяти рядах.
Из схемы видно, что количество мест в рядах чередуется: в нечетных рядах по 10 мест, а в четных — по 9 мест.
В первых десяти рядах 5 нечетных рядов (1, 3, 5, 7, 9) и 5 четных (2, 4, 6, 8, 10).
Количество мест в 5 нечетных рядах: $5 \times 10 = 50$ мест.
Количество мест в 5 четных рядах: $5 \times 9 = 45$ мест.
Общее количество мест в первых десяти рядах: $50 + 45 = 95$ мест.
Поскольку нумерация мест сквозная (начинается с 1), то последнее место в 10-м ряду будет иметь номер 95. Это и есть наибольший номер места, который устроил бы Катю.
Ответ: 95.

3)

Пете досталось место № 195. Чтобы определить ряд, нужно понять, сколько мест находится в рядах перед ним.
Одна пара рядов (нечетный + четный) содержит $10 + 9 = 19$ мест.
Разделим номер места Пети на количество мест в одной паре рядов, чтобы узнать, сколько полных пар рядов находится перед ним:
$195 \div 19 = 10$ (остаток 5).
Это значит, что перед местом Пети есть 10 полных пар рядов. Количество этих рядов равно $10 \times 2 = 20$.
В этих 20 рядах находится $10 \times 19 = 190$ мест.
Поскольку номер места Пети (195) больше, чем 190, его место находится в следующем, 21-м ряду.
Ответ: 21 ряд.

4)

Из предыдущего задания мы знаем, что Петя сидит в 21-м ряду на месте № 195.
Нам нужно найти место, которое расположено "через ряд" от него и "перед" ним. Это значит, что мы ищем место в 19-м ряду (пропускаем 20-й ряд).
Из-за шахматной рассадки, место "перед" Петиным будет иметь такой же порядковый номер в своем ряду. Сначала найдем порядковый номер места Пети в 21-м ряду.
Как мы выяснили, первые 20 рядов содержат 190 мест. Значит, 21-й ряд начинается с места № 191. Порядковый номер места Пети: $195 - 190 = 5$. То есть, это 5-е место в 21-м ряду.
Теперь нам нужно найти 5-е место в 19-м ряду. Для этого сначала определим, сколько мест в первых 18 рядах. В 18 рядах содержится 9 пар рядов.
Количество мест в 18 рядах: $9 \times 19 = 171$ место.
Значит, 19-й ряд начинается с места № 172. Номер 5-го по счету места в этом ряду будет: $171 + 5 = 176$.
Ответ: 176.