Номер 516, страница 132 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

6.5. Деление с остатком. Глава 6. Делимость чисел - номер 516, страница 132.

516 а) Если имеющиеся карандаши разложить в коробки, по 8 штук в каждую, то останется 5 лишних карандашей. Если их разложить в коробки, по 6 штук в каждую, то тоже останется 5 лишних карандашей. Сколько имеется карандашей, если их больше 50, но меньше 100?

Подсказка. Если 5 карандашей убрать, то все оставшиеся можно будет разложить как в коробки по 8 штук, так и в коробки по 6 штук. Когда подберёте соответствующее число, не забудьте вернуть 5 карандашей.

б) В коробке лежат ложки. Когда их пересчитали десятками, то не хватило двух ложек до последнего полного десятка; когда их пересчитали дюжинами, то осталось 8 ложек. Сколько в коробке ложек, если их больше 150, но меньше 200?

Подсказка. Переформулируйте условие. «Не хватило двух ложек до полного десятка» означает «при счёте десятками осталось 8 ложек».

а)

Пусть $N$ — общее количество карандашей. По условию, при делении $N$ на 8 и на 6 в остатке получается 5. Это можно записать в виде уравнений:

$N = 8 \cdot k + 5$

$N = 6 \cdot m + 5$

где $k$ и $m$ — количество коробок.

Из этих уравнений следует, что если от общего числа карандашей отнять 5, то полученное число ($N-5$) будет делиться на 8 и на 6 без остатка. То есть, число $N-5$ является общим кратным для чисел 8 и 6.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для 8 и 6:

Разложим числа на простые множители:

$8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$

$6 = 2 \cdot 3$

НОК(8, 6) = $2^3 \cdot 3 = 8 \cdot 3 = 24$.

Значит, число $N-5$ должно быть кратно 24. Выпишем числа, кратные 24: 24, 48, 72, 96, 120 и т.д.

Тогда возможные значения для $N$ (добавляем обратно 5 карандашей):

$24 + 5 = 29$

$48 + 5 = 53$

$72 + 5 = 77$

$96 + 5 = 101$

По условию задачи, количество карандашей больше 50, но меньше 100 ($50 < N < 100$). Этому условию удовлетворяют два числа: 53 и 77.

Проверим их:

• $53 \div 8 = 6$ (остаток 5); $53 \div 6 = 8$ (остаток 5). Число подходит.
• $77 \div 8 = 9$ (остаток 5); $77 \div 6 = 12$ (остаток 5). Число тоже подходит.

Так как оба числа удовлетворяют всем условиям, оба являются верными решениями.

Ответ: 53 или 77 карандашей.

б)

Пусть $L$ — общее количество ложек. По условию, $150 < L < 200$.

Первое условие: «когда их пересчитали десятками, то не хватило двух ложек до последнего полного десятка». Как указано в подсказке, это означает, что при делении на 10 остаток равен $10 - 2 = 8$.

$L = 10 \cdot k + 8$

Второе условие: «когда их пересчитали дюжинами (по 12 штук), то осталось 8 ложек».

$L = 12 \cdot m + 8$

Из этих двух условий видно, что если от общего числа ложек отнять 8, то полученное число ($L-8$) будет делиться на 10 и на 12 без остатка. Значит, $L-8$ является общим кратным для чисел 10 и 12.

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для 10 и 12:

Разложим числа на простые множители:

$10 = 2 \cdot 5$

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$

НОК(10, 12) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.

Значит, число $L-8$ должно быть кратно 60. Выпишем числа, кратные 60: 60, 120, 180, 240 и т.д.

Тогда возможные значения для $L$ (добавляем обратно 8 ложек):

$60 + 8 = 68$

$120 + 8 = 128$

$180 + 8 = 188$

$240 + 8 = 248$

По условию задачи, количество ложек больше 150, но меньше 200 ($150 < L < 200$). Из найденных нами значений этому условию удовлетворяет только число 188.

Проверим его:

• $188 \div 10 = 18$ (остаток 8), что соответствует нехватке 2 ложек до 190.
• $188 \div 12 = 15$ (остаток 8).

Условия выполняются.

Ответ: 188 ложек.