Номер 522, страница 133 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

6.5. Деление с остатком. Глава 6. Делимость чисел - номер 522, страница 133.

522 1) Постройте в тетради треугольник $ABC$ по следующему алгоритму:
отметьте в узле квадратной сетки точку $A$;
отступите от точки $A$ на 10 клеток вправо и отметьте точку $B$;
отступите от точки $B$ на 5 клеток вправо и на 5 клеток вверх, отметьте точку $C$;
соедините попарно точки $A$, $B$ и $C$.

2) Измерьте величину тупого угла треугольника $ABC$.

3) Выполните необходимые измерения и вычислите периметр треугольника $ABC$.

1) Постройте в тетради треугольник ABC по следующему алгоритму:

Для построения треугольника выполним следующие шаги, введя систему координат, где 1 единица равна стороне одной клетки, и поместив точку А в начало координат:

• Отметим точку А в узле сетки. Пусть ее координаты будут $A(0, 0)$.
• Отступим от точки А на 10 клеток вправо и отметим точку B. Координаты точки B будут $B(10, 0)$.
• Отступим от точки B на 5 клеток вправо и на 5 клеток вверх и отметим точку C. Координаты точки C будут $C(10+5, 0+5)$, то есть $C(15, 5)$.
• Соединим точки A, B и C отрезками. Полученный треугольник ABC является искомым.

2) Измерьте величину тупого угла треугольника ABC.

Визуально можно определить, что тупым углом в треугольнике ABC является угол при вершине B, то есть $\angle ABC$. Его величину можно измерить с помощью транспортира. Также её можно точно вычислить, используя свойства смежных углов.

Для вычисления величины угла $\angle ABC$ рассмотрим его смежный угол. Для этого построим из точки C перпендикуляр к прямой AB. Пусть H - основание этого перпендикуляра. Так как точка C имеет координаты $(15, 5)$, а прямая AB совпадает с осью Ox, то точка H будет иметь координаты $(15, 0)$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC, который образовался вне треугольника ABC. Длины его катетов BH и CH равны:

Длина катета BH равна разности абсцисс точек H и B: $BH = 15 - 10 = 5$ единиц.

Длина катета CH равна ординате точки C: $CH = 5$ единиц.

Так как катеты треугольника BHC равны ($BH = CH = 5$), то он является равнобедренным прямоугольным треугольником. Углы при его гипотенузе равны $45^\circ$. Следовательно, $\angle CBH = 45^\circ$.

Угол $\angle ABC$ и угол $\angle CBH$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Отсюда находим величину угла $\angle ABC$:

$\angle ABC = 180^\circ - \angle CBH = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: Величина тупого угла $\angle ABC$ равна $135^\circ$.

3) Выполните необходимые измерения и вычислите периметр треугольника ABC.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$.

Выполним необходимые измерения (подсчет клеток по горизонтали и вертикали) и вычислим длины сторон, приняв длину стороны одной клетки за 1 единицу.

1. Длина стороны AB.

   Сторона AB лежит на горизонтальной линии сетки. Её длина равна расстоянию между точками A и B, которое по условию составляет 10 клеток.

   $AB = 10$ единиц.

2. Длина стороны BC.

   Сторона BC является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого соответствуют смещению от точки B к точке C: 5 клеток вправо и 5 клеток вверх. По теореме Пифагора:

   $BC = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ единиц.

3. Длина стороны AC.

   Сторона AC также является гипотенузой прямоугольного треугольника. Его катеты равны общему смещению от точки A к точке C: $10 + 5 = 15$ клеток вправо и 5 клеток вверх. По теореме Пифагора:

   $AC = \sqrt{15^2 + 5^2} = \sqrt{225 + 25} = \sqrt{250} = \sqrt{25 \cdot 10} = 5\sqrt{10}$ единиц.

Теперь вычислим периметр треугольника ABC, сложив длины всех сторон:

$P_{ABC} = AB + BC + AC = 10 + 5\sqrt{2} + 5\sqrt{10}$ единиц.

Для получения приближенного значения можно использовать $\sqrt{2} \approx 1.414$ и $\sqrt{10} \approx 3.162$.

$P_{ABC} \approx 10 + 5 \cdot 1.414 + 5 \cdot 3.162 = 10 + 7.07 + 15.81 = 32.88$ единиц.

Ответ: Периметр треугольника ABC равен $10 + 5\sqrt{2} + 5\sqrt{10}$ единиц, что приблизительно составляет 32.88 единицы.