Страница 133 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

518 Разложите на простые множители число:

а) 72;

б) 210;

в) 1820.

а)

Чтобы разложить число 72 на простые множители, будем последовательно делить его на наименьшие простые числа, начиная с 2.

1. Число 72 является четным, поэтому делим его на 2:

$72 : 2 = 36$

2. Результат 36 также является четным числом, снова делим на 2:

$36 : 2 = 18$

3. Результат 18 — четное число, продолжаем делить на 2:

$18 : 2 = 9$

4. Результат 9 не делится на 2. Переходим к следующему простому числу — 3. 9 делится на 3:

$9 : 3 = 3$

5. Результат 3 — простое число. Делим его само на себя:

$3 : 3 = 1$

Деление закончено, когда мы получили 1. Теперь запишем все простые множители, которые мы использовали:

$72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3$

Используя степени, это можно записать как:

$72 = 2^3 \cdot 3^2$

Ответ: $72 = 2^3 \cdot 3^2$.

б)

Разложим число 210 на простые множители.

1. Число 210 четное, делим его на 2:

$210 : 2 = 105$

2. Результат 105 не делится на 2. Проверим делимость на следующее простое число — 3. Сумма цифр числа 105 ($1+0+5=6$) делится на 3, значит, и само число 105 делится на 3:

$105 : 3 = 35$

3. Результат 35 не делится на 3. Следующее простое число — 5. Число 35 оканчивается на 5, поэтому оно делится на 5:

$35 : 5 = 7$

4. Результат 7 — это простое число. Делим его на 7:

$7 : 7 = 1$

Таким образом, разложение числа 210 на простые множители:

$210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$

Ответ: $210 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$.

в)

Разложим число 1820 на простые множители.

1. Число 1820 четное, делим его на 2:

$1820 : 2 = 910$

2. Результат 910 также четный, делим на 2:

$910 : 2 = 455$

3. Результат 455 не делится на 2. Проверим делимость на 3: сумма цифр $4+5+5=14$, не делится на 3. Переходим к следующему простому числу — 5. Число 455 оканчивается на 5, значит, оно делится на 5:

$455 : 5 = 91$

4. Результат 91 не делится на 5. Проверим делимость на следующее простое число — 7:

$91 : 7 = 13$

5. Результат 13 — это простое число. Делим его на 13:

$13 : 13 = 1$

Запишем разложение числа 1820 на простые множители:

$1820 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13$

Используя степени, получаем:

$1820 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13$

Ответ: $1820 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 13$.

519 Сколько всего существует двузначных чисел, сумма цифр которых равна 9? Есть ли среди них простые числа?

Сколько всего существует двузначных чисел, сумма цифр которых равна 9?

Пусть двузначное число имеет вид $\overline{ab}$, что равносильно $10a + b$. Здесь $a$ — это цифра десятков, а $b$ — цифра единиц. По определению двузначного числа, цифра десятков $a$ не может быть нулем, то есть $a \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. Цифра единиц $b$ может быть любой, то есть $b \in \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$. По условию задачи, сумма цифр равна 9: $a + b = 9$. Найдем все возможные пары $(a, b)$, удовлетворяющие этому условию, перебирая значения для $a$:

• Если $a=1$, то $b = 9-1=8$. Получаем число 18.
• Если $a=2$, то $b = 9-2=7$. Получаем число 27.
• Если $a=3$, то $b = 9-3=6$. Получаем число 36.
• Если $a=4$, то $b = 9-4=5$. Получаем число 45.
• Если $a=5$, то $b = 9-5=4$. Получаем число 54.
• Если $a=6$, то $b = 9-6=3$. Получаем число 63.
• Если $a=7$, то $b = 9-7=2$. Получаем число 72.
• Если $a=8$, то $b = 9-8=1$. Получаем число 81.
• Если $a=9$, то $b = 9-9=0$. Получаем число 90.

Всего существует 9 таких чисел.

Ответ: 9 чисел.

Есть ли среди них простые числа?

Простое число — это натуральное число больше единицы, которое делится только на 1 и на само себя. Все остальные числа (кроме 1) называются составными. Рассмотрим найденные числа: 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90. Согласно признаку делимости на 3, число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3. Для каждого из найденных чисел сумма цифр по условию равна 9. Так как $9$ делится на $3$ ($9 : 3 = 3$), то все эти числа делятся на 3. Поскольку каждое из этих чисел больше 3, они имеют как минимум три делителя: 1, 3 и само число. Следовательно, ни одно из них не является простым. Все они составные.

Ответ: нет, среди этих чисел нет простых.

520 a) Сколько километров и метров в 2300 м? В 75750 м? В 153000 см?

б) Сколько метров и сантиметров в 211 см? В 1212 см?

Для преобразования данных величин в километры и метры, воспользуемся следующими соотношениями: $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$ и $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$. Чтобы найти количество километров в метрах, нужно разделить количество метров на 1000. Целая часть результата будет количеством километров, а остаток — количеством метров.

В 2300 м:
Делим 2300 на 1000: $2300 \div 1000 = 2$ (остаток 300).
Таким образом, 2300 м — это 2 км и 300 м.
Ответ: 2 км 300 м.

В 75 750 м:
Делим 75 750 на 1000: $75750 \div 1000 = 75$ (остаток 750).
Таким образом, 75 750 м — это 75 км и 750 м.
Ответ: 75 км 750 м.

В 153 000 см:
Сначала переведем сантиметры в метры: $153000 \text{ см} \div 100 = 1530 \text{ м}$.
Теперь переведем 1530 м в километры и метры. Делим 1530 на 1000: $1530 \div 1000 = 1$ (остаток 530).
Таким образом, 153 000 см — это 1 км и 530 м.
Ответ: 1 км 530 м.

Для преобразования сантиметров в метры и сантиметры, воспользуемся соотношением $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$. Чтобы найти количество метров в сантиметрах, нужно разделить количество сантиметров на 100. Целая часть результата будет количеством метров, а остаток — количеством сантиметров.

В 211 см:
Делим 211 на 100: $211 \div 100 = 2$ (остаток 11).
Таким образом, 211 см — это 2 м и 11 см.
Ответ: 2 м 11 см.

В 1212 см:
Делим 1212 на 100: $1212 \div 100 = 12$ (остаток 12).
Таким образом, 1212 см — это 12 м и 12 см.
Ответ: 12 м 12 см.

521 а) Сколько минут и секунд в 400 с? в 250 с? в 1600 с?

б) Сколько часов и минут в 150 мин? в 1500 мин? в 800 мин?

а)

Для того чтобы выразить секунды в минутах и секундах, необходимо разделить общее количество секунд на 60, так как в одной минуте 60 секунд. Целая часть от деления покажет количество полных минут, а остаток — количество секунд.

В 400 с:
Выполним деление с остатком: $400 \div 60 = 6$ (остаток $40$).
Следовательно, 400 секунд — это 6 минут и 40 секунд.
Ответ: 6 мин 40 с.

В 250 с:
Выполним деление с остатком: $250 \div 60 = 4$ (остаток $10$).
Следовательно, 250 секунд — это 4 минуты и 10 секунд.
Ответ: 4 мин 10 с.

В 1600 с:
Выполним деление с остатком: $1600 \div 60 = 26$ (остаток $40$).
Следовательно, 1600 секунд — это 26 минут и 40 секунд.
Ответ: 26 мин 40 с.

б)

Для того чтобы выразить минуты в часах и минутах, необходимо разделить общее количество минут на 60, так как в одном часе 60 минут. Целая часть от деления покажет количество полных часов, а остаток — количество минут.

В 150 мин:
Выполним деление с остатком: $150 \div 60 = 2$ (остаток $30$).
Следовательно, 150 минут — это 2 часа и 30 минут.
Ответ: 2 ч 30 мин.

В 1500 мин:
Выполним деление с остатком: $1500 \div 60 = 25$ (остаток $0$).
Следовательно, 1500 минут — это ровно 25 часов.
Ответ: 25 ч.

В 800 мин:
Выполним деление с остатком: $800 \div 60 = 13$ (остаток $20$).
Следовательно, 800 минут — это 13 часов и 20 минут.
Ответ: 13 ч 20 мин.

522 1) Постройте в тетради треугольник $ABC$ по следующему алгоритму:
отметьте в узле квадратной сетки точку $A$;
отступите от точки $A$ на 10 клеток вправо и отметьте точку $B$;
отступите от точки $B$ на 5 клеток вправо и на 5 клеток вверх, отметьте точку $C$;
соедините попарно точки $A$, $B$ и $C$.

2) Измерьте величину тупого угла треугольника $ABC$.

3) Выполните необходимые измерения и вычислите периметр треугольника $ABC$.

1) Постройте в тетради треугольник ABC по следующему алгоритму:

Для построения треугольника выполним следующие шаги, введя систему координат, где 1 единица равна стороне одной клетки, и поместив точку А в начало координат:

• Отметим точку А в узле сетки. Пусть ее координаты будут $A(0, 0)$.
• Отступим от точки А на 10 клеток вправо и отметим точку B. Координаты точки B будут $B(10, 0)$.
• Отступим от точки B на 5 клеток вправо и на 5 клеток вверх и отметим точку C. Координаты точки C будут $C(10+5, 0+5)$, то есть $C(15, 5)$.
• Соединим точки A, B и C отрезками. Полученный треугольник ABC является искомым.

2) Измерьте величину тупого угла треугольника ABC.

Визуально можно определить, что тупым углом в треугольнике ABC является угол при вершине B, то есть $\angle ABC$. Его величину можно измерить с помощью транспортира. Также её можно точно вычислить, используя свойства смежных углов.

Для вычисления величины угла $\angle ABC$ рассмотрим его смежный угол. Для этого построим из точки C перпендикуляр к прямой AB. Пусть H - основание этого перпендикуляра. Так как точка C имеет координаты $(15, 5)$, а прямая AB совпадает с осью Ox, то точка H будет иметь координаты $(15, 0)$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC, который образовался вне треугольника ABC. Длины его катетов BH и CH равны:

Длина катета BH равна разности абсцисс точек H и B: $BH = 15 - 10 = 5$ единиц.

Длина катета CH равна ординате точки C: $CH = 5$ единиц.

Так как катеты треугольника BHC равны ($BH = CH = 5$), то он является равнобедренным прямоугольным треугольником. Углы при его гипотенузе равны $45^\circ$. Следовательно, $\angle CBH = 45^\circ$.

Угол $\angle ABC$ и угол $\angle CBH$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$. Отсюда находим величину угла $\angle ABC$:

$\angle ABC = 180^\circ - \angle CBH = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$.

Ответ: Величина тупого угла $\angle ABC$ равна $135^\circ$.

3) Выполните необходимые измерения и вычислите периметр треугольника ABC.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон: $P_{ABC} = AB + BC + AC$.

Выполним необходимые измерения (подсчет клеток по горизонтали и вертикали) и вычислим длины сторон, приняв длину стороны одной клетки за 1 единицу.

1. Длина стороны AB.

   Сторона AB лежит на горизонтальной линии сетки. Её длина равна расстоянию между точками A и B, которое по условию составляет 10 клеток.

   $AB = 10$ единиц.

2. Длина стороны BC.

   Сторона BC является гипотенузой прямоугольного треугольника, катеты которого соответствуют смещению от точки B к точке C: 5 клеток вправо и 5 клеток вверх. По теореме Пифагора:

   $BC = \sqrt{5^2 + 5^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = 5\sqrt{2}$ единиц.

3. Длина стороны AC.

   Сторона AC также является гипотенузой прямоугольного треугольника. Его катеты равны общему смещению от точки A к точке C: $10 + 5 = 15$ клеток вправо и 5 клеток вверх. По теореме Пифагора:

   $AC = \sqrt{15^2 + 5^2} = \sqrt{225 + 25} = \sqrt{250} = \sqrt{25 \cdot 10} = 5\sqrt{10}$ единиц.

Теперь вычислим периметр треугольника ABC, сложив длины всех сторон:

$P_{ABC} = AB + BC + AC = 10 + 5\sqrt{2} + 5\sqrt{10}$ единиц.

Для получения приближенного значения можно использовать $\sqrt{2} \approx 1.414$ и $\sqrt{10} \approx 3.162$.

$P_{ABC} \approx 10 + 5 \cdot 1.414 + 5 \cdot 3.162 = 10 + 7.07 + 15.81 = 32.88$ единиц.

Ответ: Периметр треугольника ABC равен $10 + 5\sqrt{2} + 5\sqrt{10}$ единиц, что приблизительно составляет 32.88 единицы.