Страница 126 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

487 a) Какие из чисел 111, 101, 1113, 2383, 834, 4008 делятся на 3? Выпишите их в порядке возрастания.

б) Какие из чисел 387, 217, 8991, 56009, 41250 делятся на 9? Выпишите их в порядке убывания.

в) Содержатся ли в пунктах «а» и «б» числа, которые делятся на 3, но не делятся на 9?

а) Чтобы определить, какие из чисел делятся на 3, необходимо применить признак делимости на 3: число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Проверим каждое из предложенных чисел: 111, 101, 1113, 2383, 834, 4008.
• Для числа 111 сумма цифр: $1 + 1 + 1 = 3$. Сумма 3 делится на 3, следовательно, число 111 делится на 3.
• Для числа 101 сумма цифр: $1 + 0 + 1 = 2$. Сумма 2 не делится на 3, следовательно, число 101 не делится на 3.
• Для числа 1113 сумма цифр: $1 + 1 + 1 + 3 = 6$. Сумма 6 делится на 3, следовательно, число 1113 делится на 3.
• Для числа 2383 сумма цифр: $2 + 3 + 8 + 3 = 16$. Сумма 16 не делится на 3, следовательно, число 2383 не делится на 3.
• Для числа 834 сумма цифр: $8 + 3 + 4 = 15$. Сумма 15 делится на 3, следовательно, число 834 делится на 3.
• Для числа 4008 сумма цифр: $4 + 0 + 0 + 8 = 12$. Сумма 12 делится на 3, следовательно, число 4008 делится на 3.
Таким образом, на 3 делятся числа: 111, 1113, 834, 4008. Теперь запишем их в порядке возрастания.

Ответ: 111, 834, 1113, 4008.

б) Чтобы определить, какие из чисел делятся на 9, необходимо применить признак делимости на 9: число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9. Проверим каждое из предложенных чисел: 387, 217, 8991, 56009, 41250.
• Для числа 387 сумма цифр: $3 + 8 + 7 = 18$. Сумма 18 делится на 9, следовательно, число 387 делится на 9.
• Для числа 217 сумма цифр: $2 + 1 + 7 = 10$. Сумма 10 не делится на 9, следовательно, число 217 не делится на 9.
• Для числа 8991 сумма цифр: $8 + 9 + 9 + 1 = 27$. Сумма 27 делится на 9, следовательно, число 8991 делится на 9.
• Для числа 56009 сумма цифр: $5 + 6 + 0 + 0 + 9 = 20$. Сумма 20 не делится на 9, следовательно, число 56009 не делится на 9.
• Для числа 41250 сумма цифр: $4 + 1 + 2 + 5 + 0 = 12$. Сумма 12 не делится на 9, следовательно, число 41250 не делится на 9.
Таким образом, на 9 делятся числа: 387, 8991. Теперь запишем их в порядке убывания.

Ответ: 8991, 387.

в) Необходимо найти числа из пунктов «а» и «б», которые делятся на 3, но не делятся на 9. Это означает, что сумма цифр такого числа должна делиться на 3, но не должна делиться на 9. Проанализируем все числа из обоих пунктов.
Из пункта «а»:
• 111: сумма цифр 3. $3$ делится на 3, но не делится на 9. Подходит.
• 101: сумма цифр 2. Не делится на 3. Не подходит.
• 1113: сумма цифр 6. $6$ делится на 3, но не делится на 9. Подходит.
• 2383: сумма цифр 16. Не делится на 3. Не подходит.
• 834: сумма цифр 15. $15$ делится на 3, но не делится на 9. Подходит.
• 4008: сумма цифр 12. $12$ делится на 3, но не делится на 9. Подходит.
Из пункта «б»:
• 387: сумма цифр 18. $18$ делится и на 3, и на 9. Не подходит.
• 217: сумма цифр 10. Не делится на 3. Не подходит.
• 8991: сумма цифр 27. $27$ делится и на 3, и на 9. Не подходит.
• 56009: сумма цифр 20. Не делится на 3. Не подходит.
• 41250: сумма цифр 12. $12$ делится на 3, но не делится на 9. Подходит.
Следовательно, такие числа в списках есть.

Ответ: Да, содержатся. Это числа 111, 834, 1113, 4008, 41250.

488 Какие числа, делящиеся на 3, заключены между числами 560 и 580? Есть ли среди них числа, делящиеся на 9?

Какие числа, делящиеся на 3, заключены между числами 560 и 580?

Для решения этой задачи воспользуемся признаком делимости на 3: число делится на 3 без остатка, если сумма его цифр делится на 3. Нам нужно рассмотреть все целые числа в интервале от 561 до 579.

1. Найдем первое число больше 560, которое делится на 3. Проверим число 561:

Сумма его цифр: $5 + 6 + 1 = 12$.

Поскольку 12 делится на 3 ($12 : 3 = 4$), то и число 561 делится на 3.

2. Теперь, зная первое число, мы можем найти все остальные, прибавляя к нему 3, пока результат не превысит 580.

• $561$ (уже найдено)
• $561 + 3 = 564$
• $564 + 3 = 567$
• $567 + 3 = 570$
• $570 + 3 = 573$
• $573 + 3 = 576$
• $576 + 3 = 579$

Следующее число $579 + 3 = 582$ уже выходит за пределы указанного диапазона.

Ответ: 561, 564, 567, 570, 573, 576, 579.

Есть ли среди них числа, делящиеся на 9?

Чтобы ответить на этот вопрос, воспользуемся признаком делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. Проверим найденные ранее числа.

• $561$: сумма цифр $5 + 6 + 1 = 12$ (не делится на 9).
• $564$: сумма цифр $5 + 6 + 4 = 15$ (не делится на 9).
• $567$: сумма цифр $5 + 6 + 7 = 18$ (делится на 9, так как $18 : 9 = 2$).
• $570$: сумма цифр $5 + 7 + 0 = 12$ (не делится на 9).
• $573$: сумма цифр $5 + 7 + 3 = 15$ (не делится на 9).
• $576$: сумма цифр $5 + 7 + 6 = 18$ (делится на 9, так как $18 : 9 = 2$).
• $579$: сумма цифр $5 + 7 + 9 = 21$ (не делится на 9).

Таким образом, мы нашли два числа, которые делятся на 9.

Ответ: Да, есть. Это числа 567 и 576.

РАССУЖДАЕМ (489–491)

489 Не выполняя действий, определите, делится ли значение выражения на 3, на 9:

a) $181 \cdot 261$;

б) $114 + 305$;

в) $87 + 204 + 1107$.

Чтобы определить, делится ли значение выражения на 3 или на 9, не выполняя вычислений, воспользуемся признаками делимости.

Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

а) 181 · 261

Для произведения используется следующее свойство: если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число.

Проверим каждый множитель:

1) Число 181. Сумма его цифр: $1 + 8 + 1 = 10$. Число 10 не делится ни на 3, ни на 9. Следовательно, число 181 не делится ни на 3, ни на 9.

2) Число 261. Сумма его цифр: $2 + 6 + 1 = 9$. Число 9 делится и на 3, и на 9. Следовательно, число 261 делится и на 3, и на 9.

Так как один из множителей (261) делится на 3 и на 9, то и все произведение $181 \cdot 261$ делится на 3 и на 9.

Ответ: значение выражения делится на 3 и на 9.

б) 114 + 305

Для суммы используется следующее свойство: сумма делится на некоторое число, если сумма остатков от деления каждого слагаемого на это число делится на это число.

Проверим делимость на 3:

1) Число 114. Сумма его цифр: $1 + 1 + 4 = 6$. Число 6 делится на 3. Следовательно, 114 делится на 3.

2) Число 305. Сумма его цифр: $3 + 0 + 5 = 8$. Число 8 не делится на 3. Следовательно, 305 не делится на 3.

Так как одно слагаемое (114) делится на 3, а второе (305) не делится на 3, то их сумма $114 + 305$ не делится на 3.

Проверим делимость на 9:

1) Число 114. Сумма цифр равна 6. Число 6 не делится на 9. Остаток от деления 114 на 9 равен 6.

2) Число 305. Сумма цифр равна 8. Число 8 не делится на 9. Остаток от деления 305 на 9 равен 8.

Сумма остатков от деления на 9: $6 + 8 = 14$. Число 14 не делится на 9. Следовательно, сумма $114 + 305$ не делится на 9.

Ответ: значение выражения не делится ни на 3, ни на 9.

в) 87 + 204 + 1107

Используем тот же подход, что и в пункте б).

Проверим делимость на 3:

1) Число 87. Сумма цифр: $8 + 7 = 15$. 15 делится на 3.

2) Число 204. Сумма цифр: $2 + 0 + 4 = 6$. 6 делится на 3.

3) Число 1107. Сумма цифр: $1 + 1 + 0 + 7 = 9$. 9 делится на 3.

Так как все слагаемые делятся на 3, то и их сумма $87 + 204 + 1107$ делится на 3.

Проверим делимость на 9:

1) Число 87. Сумма цифр 15. 15 не делится на 9. Остаток от деления 87 на 9 равен 6.

2) Число 204. Сумма цифр 6. 6 не делится на 9. Остаток от деления 204 на 9 равен 6.

3) Число 1107. Сумма цифр 9. 9 делится на 9. Остаток от деления 1107 на 9 равен 0.

Сумма остатков от деления на 9: $6 + 6 + 0 = 12$. Число 12 не делится на 9. Следовательно, сумма $87 + 204 + 1107$ не делится на 9.

Ответ: значение выражения делится на 3, но не делится на 9.

490 а) Даша покупала три одинаковых блокнота. Когда продавец сказала, что за них нужно заплатить 158 р., Даша удивилась и попросила продавца сосчитать ещё раз. Кто прав: Даша или продавец?

б) Три друга решили купить вместе футбольный мяч и разделить его стоимость между собой поровну. Получится ли у них это, если мяч стоит 170 р.? 207 р.?

а) Даша купила три одинаковых блокнота, значит, их общая стоимость должна делиться на 3 без остатка. Для проверки делимости числа на 3 можно использовать правило: если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.

Продавец назвала сумму 158 рублей. Проверим, делится ли число 158 на 3. Для этого найдем сумму его цифр:

$1 + 5 + 8 = 14$

Число 14 не делится на 3 без остатка ($14 \div 3 = 4$ и остаток 2). Следовательно, и число 158 не делится на 3 нацело. Это означает, что цена одного блокнота не может быть выражена в рублях и копейках ($158 \div 3 = 52,666...$ р.), так как стоимость товара обычно имеет не более двух знаков после запятой.

Таким образом, продавец ошиблась в расчетах, и Даша была права, усомнившись в названной сумме.

Ответ: Права Даша.

б) Чтобы три друга могли разделить стоимость мяча поровну, его цена должна делиться на 3 без остатка. Проверим оба варианта стоимости, используя тот же признак делимости на 3.

Если мяч стоит 170 р.:

Проверим делимость числа 170 на 3. Сумма его цифр:

$1 + 7 + 0 = 8$

Поскольку 8 не делится на 3, то и 170 не делится на 3. В этом случае друзья не смогут разделить стоимость поровну.

Если мяч стоит 207 р.:

Проверим делимость числа 207 на 3. Сумма его цифр:

$2 + 0 + 7 = 9$

Поскольку 9 делится на 3, то и 207 делится на 3. Каждый друг должен будет заплатить:

$207 \div 3 = 69$ р.

В этом случае разделить стоимость поровну получится.

Ответ: Если мяч стоит 170 р., то разделить стоимость поровну не получится; если мяч стоит 207 р., то получится.

491 Каждое из чисел 37 940, 1275, 1551, 207 207 является составным числом. Объясните, почему это утверждение верно.

Составное число — это натуральное число, которое имеет делители, отличные от единицы и самого себя. Чтобы доказать, что данное утверждение верно, достаточно для каждого из чисел найти хотя бы один такой делитель, используя признаки делимости.

37 940
Это число оканчивается на цифру 0. Согласно признаку делимости на 10, любое число, запись которого оканчивается на 0, делится на 10 без остатка.
$37 940 : 10 = 3794$
Поскольку число 37 940 имеет делители 10 и 3794, которые отличны от 1 и самого числа, оно является составным.
Ответ: число 37 940 является составным, так как оно делится на 10.

1275
Это число оканчивается на цифру 5. Согласно признаку делимости на 5, любое число, запись которого оканчивается на 0 или 5, делится на 5 без остатка.
$1275 : 5 = 255$
Поскольку число 1275 имеет делитель 5, который отличен от 1 и самого числа, оно является составным.
Ответ: число 1275 является составным, так как оно делится на 5.

1551
Проверим это число на делимость на 3. Согласно признаку делимости на 3, если сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 3.
Найдем сумму цифр числа 1551: $1 + 5 + 5 + 1 = 12$.
Так как 12 делится на 3 ($12 : 3 = 4$), то и число 1551 делится на 3.
$1551 : 3 = 517$
Поскольку число 1551 имеет делитель 3, который отличен от 1 и самого числа, оно является составным.
Ответ: число 1551 является составным, так как оно делится на 3.

207 207
Это число можно представить в виде произведения:
$207 207 = 207000 + 207 = 207 \times 1000 + 207 \times 1 = 207 \times (1000 + 1) = 207 \times 1001$
Так как число 207 207 можно разложить на множители 207 и 1001, каждый из которых больше 1, оно является составным.
Также можно проверить делимость на 3. Сумма цифр числа: $2 + 0 + 7 + 2 + 0 + 7 = 18$.
Число 18 делится на 3, значит, и 207 207 делится на 3.
Ответ: число 207 207 является составным, так как оно, например, делится на 207 и 1001.

492 Признаки делимости помогают при разложении числа на простые множители. При этом запись удобно вести с помощью вертикальной черты. Рассмотрите, как выполнено разложение на простые множители числа 504.

Примените данный приём для числа:

a) 396;

б) 264;

в) 940;

г) 1452;

д) 420;

е) 3510.

а) Разложим число 396 на простые множители, используя метод с вертикальной чертой. Будем последовательно делить число на наименьшие простые делители, начиная с 2.

Простые множители записаны справа от черты. Таким образом, разложение числа 396 на простые множители выглядит так:

Ответ: $396 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 11 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 11$

б) Разложим число 264 на простые множители.

Ответ: $264 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 = 2^3 \cdot 3 \cdot 11$

в) Разложим число 940 на простые множители.

Ответ: $940 = 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 47 = 2^2 \cdot 5 \cdot 47$

г) Разложим число 1452 на простые множители.

Ответ: $1452 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 11 \cdot 11 = 2^2 \cdot 3 \cdot 11^2$

д) Разложим число 420 на простые множители.

Ответ: $420 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$

е) Разложим число 3510 на простые множители.

Ответ: $3510 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 13 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 13$

РАССУЖДАЕМ (493-496)

493 Поставьте вместо звёздочки такую цифру, чтобы получившееся число делилось на 9:

a) $318*$;

б) $*56$;

в) $48*25$;

г) $8*1$.

Основное правило для решения этой задачи — признак делимости на 9. Число делится на 9 без остатка, если сумма всех его цифр делится на 9. Обозначим неизвестную цифру, которую нужно найти, как $x$.

а) 318*

Найдём сумму известных цифр в числе $318*$: $3 + 1 + 8 = 12$.

Полная сумма цифр числа равна $12 + x$. Эта сумма должна быть кратна 9.

Поскольку $x$ — это цифра, её значение может быть от 0 до 9. Нам нужно найти такое $x$, чтобы $12 + x$ делилось на 9. Ближайшее к 12 число, которое делится на 9, — это 18.

Составим уравнение:

$12 + x = 18$

$x = 18 - 12$

$x = 6$

Проверим: получившееся число — 3186. Сумма его цифр: $3 + 1 + 8 + 6 = 18$. Так как 18 делится на 9, то и 3186 делится на 9.

Ответ: 6

б) *56

Найдём сумму известных цифр в числе $*56$: $5 + 6 = 11$.

Полная сумма цифр числа равна $11 + x$. Эта сумма должна быть кратна 9.

Здесь $x$ — первая цифра числа, поэтому она не может быть равна нулю ($1 \le x \le 9$). Ближайшее к 11 число, которое делится на 9, — это 18.

Составим уравнение:

$11 + x = 18$

$x = 18 - 11$

$x = 7$

Проверим: получившееся число — 756. Сумма его цифр: $7 + 5 + 6 = 18$. Так как 18 делится на 9, то и 756 делится на 9.

Ответ: 7

в) 48*25

Найдём сумму известных цифр в числе $48*25$: $4 + 8 + 2 + 5 = 19$.

Полная сумма цифр числа равна $19 + x$. Эта сумма должна быть кратна 9.

Так как $0 \le x \le 9$, ищем ближайшее к 19 число, которое делится на 9. Это число 27.

Составим уравнение:

$19 + x = 27$

$x = 27 - 19$

$x = 8$

Проверим: получившееся число — 48825. Сумма его цифр: $4 + 8 + 8 + 2 + 5 = 27$. Так как 27 делится на 9, то и 48825 делится на 9.

Ответ: 8

г) 8*1

Найдём сумму известных цифр в числе $8*1$: $8 + 1 = 9$.

Полная сумма цифр числа равна $9 + x$. Эта сумма должна быть кратна 9.

Поскольку $0 \le x \le 9$, рассмотрим возможные варианты:

1. Если сумма цифр равна 9: $9 + x = 9 \implies x = 0$. Цифра 0 подходит.

2. Если сумма цифр равна 18: $9 + x = 18 \implies x = 9$. Цифра 9 также подходит.

Следующее число, кратное 9, — это 27. Но тогда $9 + x = 27 \implies x = 18$, что не является цифрой.

Таким образом, вместо звёздочки можно поставить две цифры: 0 или 9.

Проверим: число 801 (сумма $8+0+1=9$) и число 891 (сумма $8+9+1=18$). Оба числа делятся на 9.

Ответ: 0 или 9

494 Укажите число, кратное 9, ближайшее к данному числу:

а) 546;

б) 732;

в) 2468;

г) 9806.

а)

Чтобы найти число, кратное 9, ближайшее к данному числу, нужно сначала найти остаток от деления данного числа на 9. Для этого можно воспользоваться признаком делимости на 9: если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9. Остаток от деления суммы цифр на 9 равен остатку от деления самого числа на 9.

Для числа 546 найдем сумму его цифр:

$5 + 4 + 6 = 15$

Теперь найдем остаток от деления этой суммы на 9:

$15 \div 9 = 1$ (остаток 6)

Таким образом, число 546 при делении на 9 дает остаток 6. Это значит, что $546 = 9k + 6$ для некоторого целого $k$.

Ближайшие к 546 числа, которые делятся на 9, это:

1. Число, меньшее 546: нужно отнять остаток. $546 - 6 = 540$.

2. Число, большее 546: нужно прибавить разницу до следующего кратного. $546 + (9 - 6) = 546 + 3 = 549$.

Теперь сравним, какое из этих чисел находится ближе к 546:

Расстояние от 546 до 540: $546 - 540 = 6$.

Расстояние от 546 до 549: $549 - 546 = 3$.

Поскольку $3 < 6$, число 549 является ближайшим к 546 числом, кратным 9.

Ответ: 549.

б)

Для числа 732 найдем сумму его цифр:

$7 + 3 + 2 = 12$

Найдем остаток от деления суммы на 9:

$12 \div 9 = 1$ (остаток 3)

Остаток от деления 732 на 9 равен 3.

Ближайшие числа, кратные 9:

1. Меньшее число: $732 - 3 = 729$.

2. Большее число: $732 + (9 - 3) = 732 + 6 = 738$.

Сравним расстояния:

Расстояние до 729: $732 - 729 = 3$.

Расстояние до 738: $738 - 732 = 6$.

Поскольку $3 < 6$, ближайшее число — 729.

Ответ: 729.

в)

Для числа 2468 найдем сумму его цифр:

$2 + 4 + 6 + 8 = 20$

Найдем остаток от деления суммы на 9:

$20 \div 9 = 2$ (остаток 2)

Остаток от деления 2468 на 9 равен 2.

Ближайшие числа, кратные 9:

1. Меньшее число: $2468 - 2 = 2466$.

2. Большее число: $2468 + (9 - 2) = 2468 + 7 = 2475$.

Сравним расстояния:

Расстояние до 2466: $2468 - 2466 = 2$.

Расстояние до 2475: $2475 - 2468 = 7$.

Поскольку $2 < 7$, ближайшее число — 2466.

Ответ: 2466.

г)

Для числа 9806 найдем сумму его цифр:

$9 + 8 + 0 + 6 = 23$

Найдем остаток от деления суммы на 9:

$23 \div 9 = 2$ (остаток 5)

Остаток от деления 9806 на 9 равен 5.

Ближайшие числа, кратные 9:

1. Меньшее число: $9806 - 5 = 9801$.

2. Большее число: $9806 + (9 - 5) = 9806 + 4 = 9810$.

Сравним расстояния:

Расстояние до 9801: $9806 - 9801 = 5$.

Расстояние до 9810: $9810 - 9806 = 4$.

Поскольку $4 < 5$, ближайшее число — 9810.

Ответ: 9810.