Страница 127 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

495 Запишите какие-нибудь два числа, которые:

а) делятся на 2 и на 9;

б) делятся на 3 и на 4;

в) делятся на 2 и на 3, но не делятся на 9;

г) делятся на 5 и на 9, но не делятся на 2.

а) делятся на 2 и на 9

Чтобы число делилось одновременно на 2 и на 9, оно должно быть кратно их наименьшему общему кратному. Так как числа 2 и 9 являются взаимно простыми, их наименьшее общее кратное равно их произведению: $2 \times 9 = 18$. Следовательно, нам нужно найти два числа, которые делятся на 18. Возьмем первые два кратных числа:
1. $18 \times 1 = 18$. Проверка: 18 – четное (делится на 2), сумма цифр $1+8=9$ (делится на 9).
2. $18 \times 2 = 36$. Проверка: 36 – четное (делится на 2), сумма цифр $3+6=9$ (делится на 9).
Ответ: 18 и 36.

б) делятся на 3 и на 4

Если число делится на 3 и на 4, оно должно делиться на их наименьшее общее кратное. Числа 3 и 4 взаимно простые, поэтому их наименьшее общее кратное равно их произведению: $3 \times 4 = 12$. Таким образом, искомые числа должны быть кратны 12.
1. $12 \times 1 = 12$. Проверка: сумма цифр $1+2=3$ (делится на 3), число 12 делится на 4.
2. $12 \times 2 = 24$. Проверка: сумма цифр $2+4=6$ (делится на 3), число 24 делится на 4.
Ответ: 12 и 24.

в) делятся на 2 и на 3, но не делятся на 9

Число, делящееся на 2 и на 3, должно быть кратно $2 \times 3 = 6$. Нам нужно найти два числа, которые делятся на 6, но при этом не делятся на 9. Перечислим числа, кратные 6, и проверим их делимость на 9.
1. 6: делится на 2 и на 3, но не делится на 9. Подходит.
2. 12: делится на 2 и на 3, но не делится на 9 (сумма цифр $1+2=3$). Подходит.
(Следующее кратное 6, число 18, делится на 9, поэтому оно не подходит).
Ответ: 6 и 12.

г) делятся на 5 и на 9, но не делятся на 2

Чтобы число делилось на 5, оно должно оканчиваться на 0 или 5. Чтобы оно не делилось на 2, оно должно быть нечетным. Следовательно, число должно оканчиваться на 5. Чтобы число делилось на 9, сумма его цифр должна быть кратна 9.
1. Найдем первое такое число. Оно оканчивается на 5. Сумма его цифр должна быть равна 9 (или 18, 27 и т.д.). Пусть сумма цифр равна 9. Если последняя цифра 5, то сумма остальных цифр должна быть $9-5=4$. Самое простое такое число – 45. Проверка: 45 оканчивается на 5, оно нечетное, сумма цифр $4+5=9$. Подходит.
2. Найдем второе число. Пусть это будет трехзначное число, оканчивающееся на 5, и сумма его цифр равна 9. Например, 135. Проверка: 135 оканчивается на 5, оно нечетное, сумма цифр $1+3+5=9$. Подходит.
Ответ: 45 и 135.

496 Используя все цифры от 0 до 9, причём каждую только один раз, запишите:

а) наименьшее десятизначное число, делящееся на 5;

б) наибольшее десятизначное число, делящееся на 2.

а) наименьшее десятизначное число, делящееся на 5

Чтобы составить наименьшее десятизначное число из всех цифр от 0 до 9, необходимо расположить их в порядке возрастания. Однако, есть два важных условия:
1. Число должно быть десятизначным, поэтому оно не может начинаться с нуля. Наименьшая возможная первая цифра — это 1.
2. Число должно делиться на 5, а значит, его последняя цифра должна быть либо 0, либо 5.

Рассмотрим оба варианта для последней цифры.

Случай 1: Последняя цифра — 0.
В этом случае оставшиеся цифры (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) нужно расположить в первых девяти позициях так, чтобы число было наименьшим. Для этого мы расставляем их в порядке возрастания: $123456789$. Таким образом, получаем число $1234567890$.

Случай 2: Последняя цифра — 5.
В этом случае для первых девяти позиций у нас остаются цифры {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}. Чтобы число было наименьшим, на первое место ставим наименьшую из доступных ненулевых цифр — 1. На второе место ставим наименьшую из оставшихся — 0. Остальные цифры {2, 3, 4, 6, 7, 8, 9} располагаем в порядке возрастания. Получаем число $1023467895$.

Теперь сравним два полученных числа: $1234567890$ и $1023467895$.
Число $1023467895$ меньше, так как его разряд сотен миллионов (вторая цифра) равен 0, что меньше, чем 2 у первого числа.

Ответ: $1023467895$

б) наибольшее десятизначное число, делящееся на 2

Чтобы составить наибольшее десятизначное число из всех цифр от 0 до 9, необходимо расположить их в порядке убывания слева направо. Также нужно учесть условие делимости на 2.
1. Для получения наибольшего числа старшие разряды (слева) должны занимать наибольшие цифры.
2. Число должно делиться на 2, следовательно, оно должно оканчиваться на чётную цифру (0, 2, 4, 6 или 8).

Начнем составлять число с самых больших цифр: 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0. Если расположить их в таком порядке, мы получим число $9876543210$.

Проверим это число на соответствие условиям:
- Оно составлено из всех цифр от 0 до 9, использованных по одному разу.
- Оно является наибольшим возможным числом, которое можно составить из этих цифр, так как они расположены в порядке убывания.
- Оно оканчивается на 0, а 0 — чётная цифра, значит, число делится на 2.

Поскольку самое большое из возможных чисел, которое можно составить из данных цифр, удовлетворяет условию делимости на 2, оно и является искомым. Любая другая комбинация цифр даст меньшее число.

Ответ: $9876543210$

497 1) Какими цифрами не может оканчиваться многозначное простое число?

2) Для каждой цифры, на которую может оканчиваться многозначное простое число, приведите три-четыре примера.

1)

Простое число — это натуральное число, которое больше 1 и делится без остатка только на 1 и на само себя. Многозначное число — это число, состоящее из двух или более цифр (то есть больше 9).

Рассмотрим признаки делимости чисел в зависимости от их последней цифры:

• Если многозначное число оканчивается на четную цифру (0, 2, 4, 6, 8), оно делится на 2. Поскольку это число больше 2, оно будет иметь как минимум три делителя: 1, 2 и само себя. Следовательно, оно не является простым. (Единственное простое четное число — это 2, но оно однозначное).
• Если многозначное число оканчивается на 5, оно делится на 5. Поскольку это число больше 5, оно будет иметь как минимум три делителя: 1, 5 и само себя. Следовательно, оно не является простым. (Единственное простое число, оканчивающееся на 5, — это само число 5, но оно однозначное).

Таким образом, многозначное простое число не может оканчиваться на цифры 0, 2, 4, 5, 6, 8.

Ответ: 0, 2, 4, 5, 6, 8.

2)

Из первого пункта следует, что многозначные простые числа могут оканчиваться только на цифры 1, 3, 7, 9. Приведем примеры таких чисел:

• Числа, оканчивающиеся на 1: 11, 31, 41, 61.
• Числа, оканчивающиеся на 3: 13, 23, 43, 53.
• Числа, оканчивающиеся на 7: 17, 37, 47, 67.
• Числа, оканчивающиеся на 9: 19, 29, 59, 79.

Ответ: на 1: 11, 31, 41, 61; на 3: 13, 23, 43, 53; на 7: 17, 37, 47, 67; на 9: 19, 29, 59, 79.

498 1) Даны числа:

165, 198, 236, 315, 354, 435.

Какие из них делятся на 6? Есть ли среди этих чисел такие, которые делятся на 15?

Подсказка. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

2) Сформулируйте признак делимости на 45. Есть ли в приведённом выше списке число, делящееся на 45?

3) Если число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6. Однако общее утверждение «если число делится на каждое из чисел $a$ и $b$, то оно делится на их произведение» не является верным. Так, число 60 делится на 4 и на 6, но не делится на 24. Придумайте свой пример, опровергающий это утверждение.

1) Для проверки делимости чисел из списка (165, 198, 236, 315, 354, 435) на 6 и 15 воспользуемся признаками делимости.

Делимость на 6:

Число делится на 6, если оно одновременно делится на 2 (то есть является чётным) и на 3 (сумма его цифр делится на 3).

• 165: нечётное, не делится на 2. Значит, не делится на 6.
• 198: чётное; сумма цифр $1+9+8=18$, $18$ делится на 3. Значит, 198 делится на 6. ($198 \div 6 = 33$)
• 236: чётное; сумма цифр $2+3+6=11$, $11$ не делится на 3. Значит, не делится на 6.
• 315: нечётное, не делится на 2. Значит, не делится на 6.
• 354: чётное; сумма цифр $3+5+4=12$, $12$ делится на 3. Значит, 354 делится на 6. ($354 \div 6 = 59$)
• 435: нечётное, не делится на 2. Значит, не делится на 6.

Таким образом, на 6 делятся числа 198 и 354.

Делимость на 15:

Число делится на 15, если оно одновременно делится на 3 (сумма его цифр делится на 3) и на 5 (оканчивается на 0 или 5).

• 165: оканчивается на 5; сумма цифр $1+6+5=12$, $12$ делится на 3. Значит, 165 делится на 15. ($165 \div 15 = 11$)
• 198: не оканчивается на 0 или 5. Значит, не делится на 15.
• 236: не оканчивается на 0 или 5. Значит, не делится на 15.
• 315: оканчивается на 5; сумма цифр $3+1+5=9$, $9$ делится на 3. Значит, 315 делится на 15. ($315 \div 15 = 21$)
• 354: не оканчивается на 0 или 5. Значит, не делится на 15.
• 435: оканчивается на 5; сумма цифр $4+3+5=12$, $12$ делится на 3. Значит, 435 делится на 15. ($435 \div 15 = 29$)

Таким образом, на 15 делятся числа 165, 315, 435.

Ответ: На 6 делятся числа 198 и 354. Да, среди этих чисел есть делящиеся на 15: 165, 315, 435.

2)

Признак делимости на 45.

Чтобы сформулировать признак делимости на 45, разложим это число на взаимно простые множители: $45 = 5 \times 9$. Числа 5 и 9 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель равен 1. Следовательно, число делится на 45 тогда и только тогда, когда оно делится одновременно и на 5, и на 9.

Признак делимости на 5: число оканчивается на 0 или 5.

Признак делимости на 9: сумма цифр числа делится на 9.

Объединив эти два признака, получаем признак делимости на 45: число делится на 45, если оно оканчивается на 0 или 5, и при этом сумма его цифр делится на 9.

Поиск числа, делящегося на 45, в приведённом списке.

Проверим числа из списка, которые делятся на 5 (оканчиваются на 0 или 5): 165, 315, 435. Теперь для этих чисел проверим делимость на 9 (сумма цифр должна делиться на 9).

• 165: сумма цифр $1+6+5=12$. 12 не делится на 9.
• 315: сумма цифр $3+1+5=9$. 9 делится на 9. Значит, 315 делится на 45. ($315 \div 45 = 7$)
• 435: сумма цифр $4+3+5=12$. 12 не делится на 9.

Среди приведённых чисел только 315 делится на 45.

Ответ: Признак делимости на 45: число должно делиться на 5 и на 9, то есть оканчиваться на 0 или 5, а сумма его цифр должна быть кратна 9. Да, в списке есть такое число: 315.

3) Утверждение «если число делится на каждое из чисел $a$ и $b$, то оно делится на их произведение» верно только в том случае, когда числа $a$ и $b$ являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1). В примере из условия числа 4 и 6 не являются взаимно простыми, их наибольший общий делитель равен 2. Поэтому утверждение для них не работает.

Чтобы привести свой пример, опровергающий это утверждение, нужно выбрать число и два делителя $a$ и $b$, которые не являются взаимно простыми.

Пример:

Возьмём число 30.

• Число 30 делится на $a=6$ ($30 \div 6 = 5$).
• Число 30 делится на $b=10$ ($30 \div 10 = 3$).

Однако число 30 не делится на произведение $a \times b = 6 \times 10 = 60$. Это происходит потому, что числа 6 и 10 не являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 2).

Ответ: Число 30 делится на 6 и на 10, но не делится на их произведение 60.

499 Найдите два последовательных натуральных числа, сумма которых равна 153.

Подсказка. Воспользуйтесь приёмом решения задач на уравнивание.

Для нахождения двух последовательных натуральных чисел, сумма которых равна 153, можно использовать алгебраический метод (составление уравнения) или арифметический метод (уравнивание), как предложено в подсказке.

1. Алгебраический метод

Пусть меньшее из двух последовательных чисел равно $x$.
Поскольку числа последовательные, следующее за ним (большее) число будет равно $x + 1$.
По условию задачи, их сумма равна 153. Составим уравнение:
$x + (x + 1) = 153$
Теперь решим это уравнение:
$2x + 1 = 153$
$2x = 153 - 1$
$2x = 152$
$x = 152 \div 2$
$x = 76$
Итак, меньшее число равно 76.
Второе, большее число, равно $x + 1 = 76 + 1 = 77$.
Проверим: $76 + 77 = 153$.

2. Метод уравнивания

Этот метод основан на логических рассуждениях.
Мы имеем два числа, которые отличаются на 1. Если бы они были равны, то каждое было бы равно их среднему арифметическому. Однако, можно поступить иначе.
Уберем "излишек" из общей суммы, чтобы числа стали равными. Разница между числами равна 1. Вычтем эту разницу из суммы:
$153 - 1 = 152$
Теперь 152 — это сумма двух одинаковых чисел (удвоенное меньшее число).
Найдем меньшее число, разделив полученную сумму на 2:
$152 \div 2 = 76$
Это меньшее из двух чисел.
Чтобы найти большее число, прибавим к меньшему 1:
$76 + 1 = 77$
Таким образом, искомые числа — 76 и 77.

Ответ: 76 и 77.

500 Найдите:

а) число, кратное 70, заключённое в промежутке от 500 до 600;

б) первое число, кратное 80, которое больше 1000.

а) Чтобы найти число, кратное 70, заключённое в промежутке от 500 до 600, нам нужно найти такое целое число $k$, для которого выполняется неравенство $500 < 70 \cdot k < 600$.

Для этого разделим все части неравенства на 70:

$500 \div 70 < k < 600 \div 70$

Выполнив деление, получим:

$7,14... < k < 8,57...$

Единственное целое число $k$, которое находится в этом промежутке, это $k = 8$.

Теперь найдем искомое число, умножив 70 на найденное значение $k$:

$70 \cdot 8 = 560$

Число 560 находится в промежутке от 500 до 600 и кратно 70.

Ответ: 560.

б) Чтобы найти первое число, кратное 80, которое больше 1000, нам нужно найти наименьшее целое число $k$, для которого выполняется неравенство $80 \cdot k > 1000$.

Разделим обе части неравенства на 80, чтобы найти $k$:

$k > 1000 \div 80$

$k > 12,5$

Наименьшее целое число $k$, которое больше 12,5, это $k = 13$.

Теперь найдем искомое число, умножив 80 на $k = 13$:

$80 \cdot 13 = 1040$

Число 1040 является первым числом, которое кратно 80 и больше 1000.

Ответ: 1040.

501 Опровергните с помощью контрпримера следующее утверждение (сделайте рисунок):

1) В любом четырёхугольнике есть прямой угол.

2) Диагонали любого четырёхугольника равны.

3) Если угол больше острого угла, то он тупой.

502 Назовите равные стороны и равные углы пятиугольника, изображённого на рисунке 6.4. Скопируйте его в тетрадь. Выполнив необходимые измерения, найдите его периметр.

Рис. 6.4

Равные стороны

Для определения равных сторон рассмотрим пятиугольник KMNPT, изображенный на клетчатой бумаге. Фигура симметрична относительно вертикальной оси, проходящей через вершину M и середину стороны TP. Благодаря этой симметрии, стороны, являющиеся зеркальным отражением друг друга, равны:

• Сторона KM равна стороне MN ($KM = MN$).
• Сторона KT равна стороне PN ($KT = PN$).

Теперь сравним длины сторон KT и KM. Примем длину стороны одной клетки за единицу.

Для нахождения длины стороны KT рассмотрим прямоугольный треугольник, где KT является гипотенузой, а катеты равны 1 и 2 единицам (1 клетка по горизонтали и 2 клетки по вертикали). По теореме Пифагора:

$|KT| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$

Для нахождения длины стороны KM рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами 2 и 1 единица (2 клетки по горизонтали и 1 клетка по вертикали):

$|KM| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

Так как $|KT| = |KM| = \sqrt{5}$, то все четыре стороны равны между собой. Длина основания TP равна 2 единицам.

Ответ: Равными являются стороны KT, PN, KM и MN.

Равные углы

В силу той же осевой симметрии, углы, симметричные относительно оси, также равны между собой:

• Угол при вершине T ($∠KTP$) равен углу при вершине P ($∠NPT$).
• Угол при вершине K ($∠MKT$) равен углу при вершине N ($∠MNP$).

Ответ: Равными являются пары углов: $∠KTP$ и $∠NPT$; $∠MKT$ и $∠MNP$.

Периметр пятиугольника

Периметр (P) — это сумма длин всех сторон многоугольника.

$P = TP + PN + NM + MK + KT$

Мы уже определили длины сторон в условных единицах (где 1 единица — сторона клетки):

• $|TP| = 2$
• $|KT| = |PN| = |KM| = |MN| = \sqrt{5}$

Сложим длины всех сторон, чтобы найти периметр:

$P = 2 + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5} + \sqrt{5} = 2 + 4\sqrt{5}$

Для выполнения практической части задания, нужно скопировать фигуру в тетрадь и измерить стороны. Например, если принять сторону клетки за 0,5 см, то длина стороны TP будет $2 \times 0,5 = 1$ см. Длина каждой из равных сторон будет $\sqrt{5} \times 0,5 \approx 2,24 \times 0,5 = 1,12$ см. Измерения линейкой дадут приблизительное значение 1,1 см. Тогда периметр будет примерно $1 + 4 \times 1,1 = 5,4$ см.

Точный же периметр, выраженный в единицах (длинах стороны клетки), равен $2 + 4\sqrt{5}$.

Ответ: Периметр пятиугольника равен $2 + 4\sqrt{5}$ единиц.