Номер 498, страница 127 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

6.4. Признаки делимости. Глава 6. Делимость чисел - номер 498, страница 127.

498 1) Даны числа:

165, 198, 236, 315, 354, 435.

Какие из них делятся на 6? Есть ли среди этих чисел такие, которые делятся на 15?

Подсказка. Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.

2) Сформулируйте признак делимости на 45. Есть ли в приведённом выше списке число, делящееся на 45?

3) Если число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6. Однако общее утверждение «если число делится на каждое из чисел $a$ и $b$, то оно делится на их произведение» не является верным. Так, число 60 делится на 4 и на 6, но не делится на 24. Придумайте свой пример, опровергающий это утверждение.

1) Для проверки делимости чисел из списка (165, 198, 236, 315, 354, 435) на 6 и 15 воспользуемся признаками делимости.

Делимость на 6:

Число делится на 6, если оно одновременно делится на 2 (то есть является чётным) и на 3 (сумма его цифр делится на 3).

• 165: нечётное, не делится на 2. Значит, не делится на 6.
• 198: чётное; сумма цифр $1+9+8=18$, $18$ делится на 3. Значит, 198 делится на 6. ($198 \div 6 = 33$)
• 236: чётное; сумма цифр $2+3+6=11$, $11$ не делится на 3. Значит, не делится на 6.
• 315: нечётное, не делится на 2. Значит, не делится на 6.
• 354: чётное; сумма цифр $3+5+4=12$, $12$ делится на 3. Значит, 354 делится на 6. ($354 \div 6 = 59$)
• 435: нечётное, не делится на 2. Значит, не делится на 6.

Таким образом, на 6 делятся числа 198 и 354.

Делимость на 15:

Число делится на 15, если оно одновременно делится на 3 (сумма его цифр делится на 3) и на 5 (оканчивается на 0 или 5).

• 165: оканчивается на 5; сумма цифр $1+6+5=12$, $12$ делится на 3. Значит, 165 делится на 15. ($165 \div 15 = 11$)
• 198: не оканчивается на 0 или 5. Значит, не делится на 15.
• 236: не оканчивается на 0 или 5. Значит, не делится на 15.
• 315: оканчивается на 5; сумма цифр $3+1+5=9$, $9$ делится на 3. Значит, 315 делится на 15. ($315 \div 15 = 21$)
• 354: не оканчивается на 0 или 5. Значит, не делится на 15.
• 435: оканчивается на 5; сумма цифр $4+3+5=12$, $12$ делится на 3. Значит, 435 делится на 15. ($435 \div 15 = 29$)

Таким образом, на 15 делятся числа 165, 315, 435.

Ответ: На 6 делятся числа 198 и 354. Да, среди этих чисел есть делящиеся на 15: 165, 315, 435.

2)

Признак делимости на 45.

Чтобы сформулировать признак делимости на 45, разложим это число на взаимно простые множители: $45 = 5 \times 9$. Числа 5 и 9 являются взаимно простыми, так как их наибольший общий делитель равен 1. Следовательно, число делится на 45 тогда и только тогда, когда оно делится одновременно и на 5, и на 9.

Признак делимости на 5: число оканчивается на 0 или 5.

Признак делимости на 9: сумма цифр числа делится на 9.

Объединив эти два признака, получаем признак делимости на 45: число делится на 45, если оно оканчивается на 0 или 5, и при этом сумма его цифр делится на 9.

Поиск числа, делящегося на 45, в приведённом списке.

Проверим числа из списка, которые делятся на 5 (оканчиваются на 0 или 5): 165, 315, 435. Теперь для этих чисел проверим делимость на 9 (сумма цифр должна делиться на 9).

• 165: сумма цифр $1+6+5=12$. 12 не делится на 9.
• 315: сумма цифр $3+1+5=9$. 9 делится на 9. Значит, 315 делится на 45. ($315 \div 45 = 7$)
• 435: сумма цифр $4+3+5=12$. 12 не делится на 9.

Среди приведённых чисел только 315 делится на 45.

Ответ: Признак делимости на 45: число должно делиться на 5 и на 9, то есть оканчиваться на 0 или 5, а сумма его цифр должна быть кратна 9. Да, в списке есть такое число: 315.

3) Утверждение «если число делится на каждое из чисел $a$ и $b$, то оно делится на их произведение» верно только в том случае, когда числа $a$ и $b$ являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1). В примере из условия числа 4 и 6 не являются взаимно простыми, их наибольший общий делитель равен 2. Поэтому утверждение для них не работает.

Чтобы привести свой пример, опровергающий это утверждение, нужно выбрать число и два делителя $a$ и $b$, которые не являются взаимно простыми.

Пример:

Возьмём число 30.

• Число 30 делится на $a=6$ ($30 \div 6 = 5$).
• Число 30 делится на $b=10$ ($30 \div 10 = 3$).

Однако число 30 не делится на произведение $a \times b = 6 \times 10 = 60$. Это происходит потому, что числа 6 и 10 не являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 2).

Ответ: Число 30 делится на 6 и на 10, но не делится на их произведение 60.