Страница 122 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

467 РАССУЖДАЕМ Объясните, почему произведение:

a) $25 \cdot 45$ делится на 5;

б) $49 \cdot 20$ делится на 7 и на 10;

в) $15 \cdot 28$ делится на 2, на 3, на 5, на 7.

Основное правило, которое используется для решения этой задачи: если хотя бы один из множителей в произведении делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число.

а) Произведение $25 \cdot 45$ делится на 5, потому что один из его множителей, число 25, делится на 5 без остатка ($25 : 5 = 5$). Также и второй множитель, 45, делится на 5 ($45 : 5 = 9$). Поскольку хотя бы один множитель (в данном случае оба) кратен 5, то и все произведение кратно 5.

Ответ: Произведение делится на 5, потому что множитель 25 (а также 45) делится на 5.

б) Произведение $49 \cdot 20$ делится на 7 и на 10 по следующим причинам:
- Оно делится на 7, так как множитель 49 делится на 7 ($49 : 7 = 7$).
- Оно делится на 10, так как множитель 20 делится на 10 ($20 : 10 = 2$).
Так как в произведении есть множитель, кратный 7, и множитель, кратный 10, то все произведение делится и на 7, и на 10.

Ответ: Произведение делится на 7, так как 49 делится на 7, и делится на 10, так как 20 делится на 10.

в) Произведение $15 \cdot 28$ делится на 2, на 3, на 5 и на 7, потому что для каждого из этих чисел в произведении найдется множитель, который на него делится:
- Делимость на 2: множитель 28 делится на 2 ($28 = 2 \cdot 14$).
- Делимость на 3: множитель 15 делится на 3 ($15 = 3 \cdot 5$).
- Делимость на 5: множитель 15 делится на 5 ($15 = 5 \cdot 3$).
- Делимость на 7: множитель 28 делится на 7 ($28 = 7 \cdot 4$).

Ответ: Произведение делится на 2 и на 7, так как множитель 28 делится на 2 и на 7. Произведение делится на 3 и на 5, так как множитель 15 делится на 3 и на 5.

468. Найдите все простые делители произведения:

а) $6 \cdot 15 \cdot 77$;

б) $3 \cdot 25 \cdot 62$.

Чтобы найти все простые делители произведения, не обязательно вычислять само произведение. Достаточно разложить каждый из множителей на простые делители и объединить их все в один список, исключив повторения.

а)

Рассмотрим произведение $6 \cdot 15 \cdot 77$.

Разложим каждый множитель на простые делители:

• $6 = 2 \cdot 3$

• $15 = 3 \cdot 5$

• $77 = 7 \cdot 11$

Таким образом, разложение всего произведения на простые множители выглядит так: $6 \cdot 15 \cdot 77 = (2 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 5) \cdot (7 \cdot 11)$.

Простыми делителями произведения являются все уникальные простые множители из этого разложения. Это числа: 2, 3, 5, 7, 11.

Ответ: 2, 3, 5, 7, 11.

б)

Рассмотрим произведение $3 \cdot 25 \cdot 62$.

Разложим каждый множитель на простые делители:

• 3 — это уже простое число.

• $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$

• $62 = 2 \cdot 31$

Таким образом, разложение всего произведения на простые множители выглядит так: $3 \cdot 25 \cdot 62 = 3 \cdot (5 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 31)$.

Простыми делителями произведения являются все уникальные простые множители из этого разложения. Это числа: 2, 3, 5, 31.

Ответ: 2, 3, 5, 31.

РАССУЖДАЕМ (469–470)

469 а) Число 1332 делится на 36. Используя этот факт, назовите ещё несколько делителей числа 1332.

б) Известно, что число n делится на 18. Какие ещё делители числа n вы можете назвать?

а) Согласно свойству делимости, если число $a$ делится на число $b$, то оно также делится на все делители числа $b$.
По условию, число 1332 делится на 36. Это означает, что 1332 также делится на все делители числа 36.
Найдем все натуральные делители числа 36. Это числа, на которые 36 делится без остатка.
Делители 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Следовательно, числа 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 являются делителями числа 1332.
Также можно найти частное от деления 1332 на 36, которое тоже будет делителем числа 1332:
$1332 \div 36 = 37$
Таким образом, 37 — это ещё один делитель числа 1332.
Ответ: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 37.

б) Используем то же свойство делимости. Если число $n$ делится на 18, то оно обязательно делится на все делители числа 18.
Найдем все натуральные делители числа 18.
Делители 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18.
Так как $n$ делится на 18, то оно также делится на все остальные делители числа 18.
Ответ: 1, 2, 3, 6, 9.

470 Запишите 10 делителей числа $a$, равного произведению $32 \cdot 24 \cdot 21$. Какие из указанных вами делителей являются простыми числами? составными числами? Можете ли вы назвать ещё какие-нибудь делители числа $a$? Сколько всего делителей вам удалось указать?

Для того чтобы найти делители числа $a$, сначала разложим его на простые множители. Число $a$ задано как произведение $a = 32 \cdot 24 \cdot 21$.

Разложим на простые множители каждый из сомножителей:

$32 = 2^5$

$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

$21 = 3 \cdot 7$

Теперь объединим все множители, чтобы получить каноническое разложение числа $a$:

$a = (2^5) \cdot (2^3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 7) = 2^{5+3} \cdot 3^{1+1} \cdot 7^1 = 2^8 \cdot 3^2 \cdot 7^1$.

Любой делитель числа $a$ будет состоять из произведения этих простых множителей в степенях, не превышающих их степени в разложении числа $a$.

Запишите 10 делителей числа a, равного произведению 32 · 24 · 21.

Используя простые множители 2, 3, 7 и их комбинации, можно составить множество делителей. В качестве примера приведем 10 таких делителей: 2, 3, 4 (это $2^2$), 6 (это $2 \cdot 3$), 7, 9 (это $3^2$), 14 (это $2 \cdot 7$), 21 (это $3 \cdot 7$), 24 (это $2^3 \cdot 3$), 32 (это $2^5$).

Ответ: 2, 3, 4, 6, 7, 9, 14, 21, 24, 32.

Какие из указанных вами делителей являются простыми числами?

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Из списка, приведенного выше, простыми являются только те числа, которые входят в каноническое разложение числа $a$ в первой степени и не могут быть разложены на другие множители.

Ответ: 2, 3, 7.

составными числами?

Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым, то есть имеет более двух делителей. Все остальные числа из указанного списка, кроме простых, являются составными.

Ответ: 4, 6, 9, 14, 21, 24, 32.

Можете ли вы назвать ещё какие-нибудь делители числа a?

Да, можно назвать много других делителей. Общее количество натуральных делителей числа $a = 2^8 \cdot 3^2 \cdot 7^1$ можно найти по формуле, используя степени из его канонического разложения: $(8+1) \cdot (2+1) \cdot (1+1) = 9 \cdot 3 \cdot 2 = 54$. Таким образом, у числа $a$ всего 54 делителя. В качестве примеров можно привести такие делители, как 1 (является делителем любого числа), 8 (это $2^3$), 12 (это $2^2 \cdot 3$), 42 (это $2 \cdot 3 \cdot 7$), а также само число $a = 16128$.

Ответ: Да, например, 1, 8, 12, 42, 16128.

Сколько всего делителей вам удалось указать?

В первом пункте было указано 10 делителей. В предыдущем пункте в качестве примера было названо еще 5 уникальных делителей (1, 8, 12, 42, 16128). Итого было указано $10 + 5 = 15$ различных делителей.

Ответ: Всего удалось указать 15 делителей.

471 Подберите такие три числа, чтобы при подстановке их вместо буквы $n$:

а) произведение $13 \cdot n$ делилось на 5;

б) произведение $7 \cdot n$ делилось на 8;

в) произведение $6 \cdot n$ делилось на 10;

г) произведение $10 \cdot n$ делилось на 25.

а) произведение 13 · n делилось на 5;

Чтобы произведение $13 \cdot n$ делилось на 5, необходимо, чтобы хотя бы один из множителей делился на 5. Число 13 — простое, и на 5 оно не делится. Следовательно, множитель $n$ должен быть кратен 5, то есть делиться на 5.
Подберем три таких числа, например, 5, 10 и 15.
Проверим:
1) Если $n=5$, то $13 \cdot 5 = 65$. $65 \div 5 = 13$. Верно.
2) Если $n=10$, то $13 \cdot 10 = 130$. $130 \div 5 = 26$. Верно.
3) Если $n=15$, то $13 \cdot 15 = 195$. $195 \div 5 = 39$. Верно.
Ответ: 5, 10, 15.

б) произведение 7 · n делилось на 8;

Чтобы произведение $7 \cdot n$ делилось на 8, необходимо, чтобы $n$ было кратно 8, так как числа 7 и 8 являются взаимно простыми (у них нет общих делителей, кроме 1). Следовательно, множитель $n$ должен делиться на 8.
Подберем три таких числа, например, 8, 16 и 24.
Проверим:
1) Если $n=8$, то $7 \cdot 8 = 56$. $56 \div 8 = 7$. Верно.
2) Если $n=16$, то $7 \cdot 16 = 112$. $112 \div 8 = 14$. Верно.
3) Если $n=24$, то $7 \cdot 24 = 168$. $168 \div 8 = 21$. Верно.
Ответ: 8, 16, 24.

в) произведение 6 · n делилось на 10;

Чтобы произведение $6 \cdot n$ делилось на 10, оно должно делиться на простые множители числа 10, то есть на 2 и 5.
Разложим на множители: $6 \cdot n = (2 \cdot 3) \cdot n$.
Множитель 2 уже присутствует в разложении числа 6. Значит, для делимости на 10 не хватает множителя 5. Так как 6 на 5 не делится, то $n$ должно делиться на 5.
Подберем три таких числа, например, 5, 10 и 15.
Проверим:
1) Если $n=5$, то $6 \cdot 5 = 30$. $30 \div 10 = 3$. Верно.
2) Если $n=10$, то $6 \cdot 10 = 60$. $60 \div 10 = 6$. Верно.
3) Если $n=15$, то $6 \cdot 15 = 90$. $90 \div 10 = 9$. Верно.
Ответ: 5, 10, 15.

г) произведение 10 · n делилось на 25.

Чтобы произведение $10 \cdot n$ делилось на 25, оно должно делиться на простые множители числа 25, то есть на $5 \cdot 5$.
Разложим на множители: $10 \cdot n = (2 \cdot 5) \cdot n$.
Один множитель 5 уже присутствует в разложении числа 10. Значит, для делимости на 25 не хватает еще одного множителя 5. Так как множитель 2 в числе 10 не делится на 5, то $n$ должно делиться на 5.
Подберем три таких числа, например, 5, 10 и 15.
Проверим:
1) Если $n=5$, то $10 \cdot 5 = 50$. $50 \div 25 = 2$. Верно.
2) Если $n=10$, то $10 \cdot 10 = 100$. $100 \div 25 = 4$. Верно.
3) Если $n=15$, то $10 \cdot 15 = 150$. $150 \div 25 = 6$. Верно.
Ответ: 5, 10, 15.

472 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Какое из утверждений верно, а какое нет?

1) Если число делится на 2, то оно делится и на 4.

2) Если число делится на 4, то оно делится и на 2.

1) Если число делится на 2, то оно делится и на 4.

Это утверждение неверно. Чтобы опровергнуть утверждение, достаточно привести хотя бы один контрпример — число, которое делится на 2, но при этом не делится на 4.

Рассмотрим число 6.
Проверим, делится ли 6 на 2:
$6 \div 2 = 3$
Остатка нет, значит, число 6 делится на 2.

Теперь проверим, делится ли 6 на 4:
$6 \div 4 = 1$ (остаток 2)
Есть остаток, значит, число 6 не делится на 4.

Таким образом, мы нашли число (6), которое делится на 2, но не делится на 4. Следовательно, исходное утверждение неверно.

Ответ: неверно.

2) Если число делится на 4, то оно делится и на 2.

Это утверждение верно. Докажем это.

Если число делится на 4, его можно представить в виде произведения $4 \times k$, где $k$ — некоторое целое число. Обозначим наше число как $n$.
$n = 4k$

Мы знаем, что $4 = 2 \times 2$. Подставим это в нашу формулу:
$n = (2 \times 2) \times k$

Используя сочетательный закон умножения, мы можем перегруппировать множители:
$n = 2 \times (2k)$

Так как $k$ — целое число, то и произведение $2k$ также является целым числом. Если число $n$ можно представить в виде произведения двойки и другого целого числа ($2k$), то это по определению означает, что число $n$ делится на 2.
Это рассуждение справедливо для любого числа, делящегося на 4.

Ответ: верно.

РАССУЖДАЕМ (473–474)

473 Объясните, почему:

a) сумма $25 + 55$ делится на 5;

б) сумма $12 + 36 + 24 + 48$ делится на 2, на 3 и на 4.

a) Существует свойство делимости суммы: если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число. Этим свойством можно объяснить, почему сумма $25 + 55$ делится на 5.

Рассмотрим каждое слагаемое в отдельности:

Первое слагаемое, 25, делится на 5 без остатка, так как $25 = 5 \cdot 5$.

Второе слагаемое, 55, также делится на 5 без остатка, так как $55 = 5 \cdot 11$.

Поскольку оба слагаемых делятся на 5, то и их сумма будет делиться на 5. Это можно продемонстрировать, вынеся общий множитель 5 за скобки: $25 + 55 = 5 \cdot 5 + 5 \cdot 11 = 5 \cdot (5 + 11) = 5 \cdot 16$. Так как 5 является одним из множителей в произведении, результат делится на 5.

Также можно просто вычислить сумму и проверить её делимость: $25 + 55 = 80$. Число 80 оканчивается на 0, а числа, оканчивающиеся на 0 или 5, делятся на 5. $80 \div 5 = 16$.

Ответ: Сумма $25 + 55$ делится на 5, потому что каждое из слагаемых (25 и 55) делится на 5.

б) Воспользуемся тем же свойством делимости суммы: если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число. Проверим это для делителей 2, 3 и 4.

Делимость на 2:
Каждое слагаемое в сумме $12 + 36 + 24 + 48$ является чётным числом, а значит делится на 2.
$12 \div 2 = 6$; $36 \div 2 = 18$; $24 \div 2 = 12$; $48 \div 2 = 24$.
Поскольку все слагаемые делятся на 2, то и вся сумма делится на 2.

Делимость на 3:
Проверим делимость каждого слагаемого на 3.
$12 \div 3 = 4$; $36 \div 3 = 12$; $24 \div 3 = 8$; $48 \div 3 = 16$.
Поскольку все слагаемые делятся на 3, то и вся сумма делится на 3.

Делимость на 4:
Проверим делимость каждого слагаемого на 4.
$12 \div 4 = 3$; $36 \div 4 = 9$; $24 \div 4 = 6$; $48 \div 4 = 12$.
Поскольку все слагаемые делятся на 4, то и вся сумма делится на 4.

Таким образом, мы объяснили, почему сумма делится на 2, 3 и 4, не вычисляя её. Для проверки можно найти саму сумму: $12 + 36 + 24 + 48 = 120$. Число 120 делится на 2 ($120 \div 2 = 60$), на 3 ($120 \div 3 = 40$) и на 4 ($120 \div 4 = 30$).

Ответ: Сумма $12 + 36 + 24 + 48$ делится на 2, на 3 и на 4, потому что каждое из слагаемых в этой сумме (12, 36, 24 и 48) делится на каждое из этих чисел.

474 Определите, делится ли сумма:

а) $14 + 21 + 63 + 24$ на 7;

б) $18 + 36 + 54 + 90$ на 9;

в) $60 + 110 + 202 + 400$ на 10.

а) Чтобы определить, делится ли сумма $14 + 21 + 63 + 24$ на 7, можно использовать свойство делимости суммы. Согласно этому свойству, если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число. Проверим каждое слагаемое на делимость на 7:

$14$ делится на 7, так как $14 : 7 = 2$.

$21$ делится на 7, так как $21 : 7 = 3$.

$63$ делится на 7, так как $63 : 7 = 9$.

Слагаемое $24$ не делится на 7 без остатка, так как $24 = 7 \times 3 + 3$.

Поскольку не все слагаемые делятся на 7, воспользуемся правилом: если в сумме все слагаемые, кроме одного, делятся на некоторое число, то вся сумма на это число не делится. В данном случае три слагаемых (14, 21, 63) делятся на 7, а одно (24) — нет. Следовательно, вся сумма не делится на 7.

Для проверки можно вычислить сумму и проверить её делимость:

$14 + 21 + 63 + 24 = 122$

$122 : 7 = 17$ (остаток 3). Сумма 122 не делится на 7 нацело.

Ответ: не делится.

б) Проверим, делится ли сумма $18 + 36 + 54 + 90$ на 9. Для этого проверим делимость каждого слагаемого на 9:

$18$ делится на 9, так как $18 : 9 = 2$.

$36$ делится на 9, так как $36 : 9 = 4$.

$54$ делится на 9, так как $54 : 9 = 6$.

$90$ делится на 9, так как $90 : 9 = 10$.

Так как каждое слагаемое в данной сумме делится на 9, то по свойству делимости суммы, вся сумма также делится на 9.

Проверим это, вычислив сумму:

$18 + 36 + 54 + 90 = 198$

Число 198 делится на 9, так как сумма его цифр ($1+9+8=18$) делится на 9. Выполним деление: $198 : 9 = 22$.

Сумма 198 делится на 9 без остатка.

Ответ: делится.

в) Проверим, делится ли сумма $60 + 110 + 202 + 400$ на 10. Воспользуемся признаком делимости на 10: число делится на 10, если его запись оканчивается цифрой 0. Проверим каждое слагаемое:

Числа $60$, $110$ и $400$ оканчиваются на 0 и, следовательно, делятся на 10.

Число $202$ оканчивается на 2, поэтому оно не делится на 10 без остатка ($202 = 10 \times 20 + 2$).

Так как одно из слагаемых (202) не делится на 10, а остальные делятся, то вся сумма не будет делиться на 10.

Проверим это, вычислив сумму:

$60 + 110 + 202 + 400 = 772$

Число 772 оканчивается на 2, а не на 0, следовательно, оно не делится на 10 без остатка.

Ответ: не делится.

475 Разность чисел обладает свойствами делимости, аналогичными свойствам суммы:

• если каждое из двух чисел делится на некоторое число, то и их разность делится на это число;

• если одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое не делится, то и их разность не делится на это число.

Не выполняя действий, определите, делится ли:

а) разность $77 - 49$ на 7;

б) разность $98 - 33$ на 11;

в) разность $200 - 85$ на 10;

г) разность $3500 - 2700$ на 100.

а) разность $77 - 49$ на $7$

Чтобы определить, делится ли разность на $7$, не выполняя вычитания, воспользуемся свойством делимости разности. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на некоторое число, то и их разность делится на это число.
Проверим делимость каждого числа на $7$:
Число $77$ делится на $7$, так как $77 = 7 \cdot 11$.
Число $49$ делится на $7$, так как $49 = 7 \cdot 7$.
Поскольку оба числа, $77$ и $49$, делятся на $7$, их разность также будет делиться на $7$.
Ответ: да, делится.

б) разность $98 - 33$ на $11$

Воспользуемся свойством делимости разности. Если одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое не делится, то и их разность не делится на это число.
Проверим делимость каждого числа на $11$:
Число $98$ не делится на $11$ без остатка ($98 = 11 \cdot 8 + 10$).
Число $33$ делится на $11$, так как $33 = 11 \cdot 3$.
Поскольку одно число ($33$) делится на $11$, а другое ($98$) не делится, их разность не будет делиться на $11$.
Ответ: нет, не делится.

в) разность $200 - 85$ на $10$

Применим свойство делимости разности. Если одно из двух чисел делится на некоторое число, а другое не делится, то и их разность не делится на это число.
Проверим делимость каждого числа на $10$:
Число $200$ делится на $10$, так как оно оканчивается на $0$ ($200 = 10 \cdot 20$).
Число $85$ не делится на $10$ без остатка, так как оно не оканчивается на $0$ ($85 = 10 \cdot 8 + 5$).
Поскольку одно число ($200$) делится на $10$, а другое ($85$) не делится, их разность не будет делиться на $10$.
Ответ: нет, не делится.

г) разность $3500 - 2700$ на $100$

Воспользуемся свойством делимости разности. Если уменьшаемое и вычитаемое делятся на некоторое число, то и их разность делится на это число.
Проверим делимость каждого числа на $100$:
Число $3500$ делится на $100$, так как оно оканчивается на два нуля ($3500 = 100 \cdot 35$).
Число $2700$ делится на $100$, так как оно также оканчивается на два нуля ($2700 = 100 \cdot 27$).
Поскольку оба числа, $3500$ и $2700$, делятся на $100$, их разность также будет делиться на $100$.
Ответ: да, делится.