Номер 470, страница 122 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

6.3. Свойства делимости. Глава 6. Делимость чисел - номер 470, страница 122.

470 Запишите 10 делителей числа $a$, равного произведению $32 \cdot 24 \cdot 21$. Какие из указанных вами делителей являются простыми числами? составными числами? Можете ли вы назвать ещё какие-нибудь делители числа $a$? Сколько всего делителей вам удалось указать?

Для того чтобы найти делители числа $a$, сначала разложим его на простые множители. Число $a$ задано как произведение $a = 32 \cdot 24 \cdot 21$.

Разложим на простые множители каждый из сомножителей:

$32 = 2^5$

$24 = 8 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$

$21 = 3 \cdot 7$

Теперь объединим все множители, чтобы получить каноническое разложение числа $a$:

$a = (2^5) \cdot (2^3 \cdot 3) \cdot (3 \cdot 7) = 2^{5+3} \cdot 3^{1+1} \cdot 7^1 = 2^8 \cdot 3^2 \cdot 7^1$.

Любой делитель числа $a$ будет состоять из произведения этих простых множителей в степенях, не превышающих их степени в разложении числа $a$.

Запишите 10 делителей числа a, равного произведению 32 · 24 · 21.

Используя простые множители 2, 3, 7 и их комбинации, можно составить множество делителей. В качестве примера приведем 10 таких делителей: 2, 3, 4 (это $2^2$), 6 (это $2 \cdot 3$), 7, 9 (это $3^2$), 14 (это $2 \cdot 7$), 21 (это $3 \cdot 7$), 24 (это $2^3 \cdot 3$), 32 (это $2^5$).

Ответ: 2, 3, 4, 6, 7, 9, 14, 21, 24, 32.

Какие из указанных вами делителей являются простыми числами?

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Из списка, приведенного выше, простыми являются только те числа, которые входят в каноническое разложение числа $a$ в первой степени и не могут быть разложены на другие множители.

Ответ: 2, 3, 7.

составными числами?

Составное число — это натуральное число больше 1, которое не является простым, то есть имеет более двух делителей. Все остальные числа из указанного списка, кроме простых, являются составными.

Ответ: 4, 6, 9, 14, 21, 24, 32.

Можете ли вы назвать ещё какие-нибудь делители числа a?

Да, можно назвать много других делителей. Общее количество натуральных делителей числа $a = 2^8 \cdot 3^2 \cdot 7^1$ можно найти по формуле, используя степени из его канонического разложения: $(8+1) \cdot (2+1) \cdot (1+1) = 9 \cdot 3 \cdot 2 = 54$. Таким образом, у числа $a$ всего 54 делителя. В качестве примеров можно привести такие делители, как 1 (является делителем любого числа), 8 (это $2^3$), 12 (это $2^2 \cdot 3$), 42 (это $2 \cdot 3 \cdot 7$), а также само число $a = 16128$.

Ответ: Да, например, 1, 8, 12, 42, 16128.

Сколько всего делителей вам удалось указать?

В первом пункте было указано 10 делителей. В предыдущем пункте в качестве примера было названо еще 5 уникальных делителей (1, 8, 12, 42, 16128). Итого было указано $10 + 5 = 15$ различных делителей.

Ответ: Всего удалось указать 15 делителей.