Номер 473, страница 122 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

6.3. Свойства делимости. Глава 6. Делимость чисел - номер 473, страница 122.

РАССУЖДАЕМ (473–474)

473 Объясните, почему:

a) сумма $25 + 55$ делится на 5;

б) сумма $12 + 36 + 24 + 48$ делится на 2, на 3 и на 4.

a) Существует свойство делимости суммы: если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число. Этим свойством можно объяснить, почему сумма $25 + 55$ делится на 5.

Рассмотрим каждое слагаемое в отдельности:

Первое слагаемое, 25, делится на 5 без остатка, так как $25 = 5 \cdot 5$.

Второе слагаемое, 55, также делится на 5 без остатка, так как $55 = 5 \cdot 11$.

Поскольку оба слагаемых делятся на 5, то и их сумма будет делиться на 5. Это можно продемонстрировать, вынеся общий множитель 5 за скобки: $25 + 55 = 5 \cdot 5 + 5 \cdot 11 = 5 \cdot (5 + 11) = 5 \cdot 16$. Так как 5 является одним из множителей в произведении, результат делится на 5.

Также можно просто вычислить сумму и проверить её делимость: $25 + 55 = 80$. Число 80 оканчивается на 0, а числа, оканчивающиеся на 0 или 5, делятся на 5. $80 \div 5 = 16$.

Ответ: Сумма $25 + 55$ делится на 5, потому что каждое из слагаемых (25 и 55) делится на 5.

б) Воспользуемся тем же свойством делимости суммы: если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и вся сумма делится на это число. Проверим это для делителей 2, 3 и 4.

Делимость на 2:
Каждое слагаемое в сумме $12 + 36 + 24 + 48$ является чётным числом, а значит делится на 2.
$12 \div 2 = 6$; $36 \div 2 = 18$; $24 \div 2 = 12$; $48 \div 2 = 24$.
Поскольку все слагаемые делятся на 2, то и вся сумма делится на 2.

Делимость на 3:
Проверим делимость каждого слагаемого на 3.
$12 \div 3 = 4$; $36 \div 3 = 12$; $24 \div 3 = 8$; $48 \div 3 = 16$.
Поскольку все слагаемые делятся на 3, то и вся сумма делится на 3.

Делимость на 4:
Проверим делимость каждого слагаемого на 4.
$12 \div 4 = 3$; $36 \div 4 = 9$; $24 \div 4 = 6$; $48 \div 4 = 12$.
Поскольку все слагаемые делятся на 4, то и вся сумма делится на 4.

Таким образом, мы объяснили, почему сумма делится на 2, 3 и 4, не вычисляя её. Для проверки можно найти саму сумму: $12 + 36 + 24 + 48 = 120$. Число 120 делится на 2 ($120 \div 2 = 60$), на 3 ($120 \div 3 = 40$) и на 4 ($120 \div 4 = 30$).

Ответ: Сумма $12 + 36 + 24 + 48$ делится на 2, на 3 и на 4, потому что каждое из слагаемых в этой сумме (12, 36, 24 и 48) делится на каждое из этих чисел.