Номер 477, страница 123 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

6.3. Свойства делимости. Глава 6. Делимость чисел - номер 477, страница 123.

477 НАБЛЮДАЕМ И ДОКАЗЫВАЕМ

1) В каждом из следующих случаев рассмотрите числовые примеры и ответьте на поставленный вопрос. Каким числом — чётным или нечётным — является:

а) сумма двух чётных чисел;

б) сумма чётного и нечётного чисел;

в) произведение чётного и нечётного чисел?

2) Сформулируйте и запишите соответствующие утверждения и докажите их, опираясь на свойства делимости.

1) В каждом из следующих случаев рассмотрим числовые примеры и ответим на поставленный вопрос.

а) сумма двух чётных чисел;
Примеры:
$4 + 8 = 12$ (чётное)
$10 + 26 = 36$ (чётное)
$100 + 2 = 102$ (чётное)
Наблюдение: сумма двух чётных чисел всегда является чётным числом.
Ответ: чётным числом.

б) сумма чётного и нечётного чисел;
Примеры:
$4 + 5 = 9$ (нечётное)
$12 + 7 = 19$ (нечётное)
$100 + 33 = 133$ (нечётное)
Наблюдение: сумма чётного и нечётного чисел всегда является нечётным числом.
Ответ: нечётным числом.

в) произведение чётного и нечётного чисел?
Примеры:
$2 \cdot 3 = 6$ (чётное)
$10 \cdot 7 = 70$ (чётное)
$8 \cdot 9 = 72$ (чётное)
Наблюдение: произведение чётного и нечётного чисел всегда является чётным числом.
Ответ: чётным числом.

2) Сформулируем и докажем соответствующие утверждения, опираясь на свойства делимости.

Для доказательства будем использовать алгебраическое представление чисел:
Чётное число — это целое число, которое делится на 2, т.е. его можно представить в виде $2k$, где $k$ — целое число.
Нечётное число — это целое число, которое не делится на 2, т.е. его можно представить в виде $2m + 1$, где $m$ — целое число.

а) Утверждение: Сумма двух чётных чисел является чётным числом.
Доказательство.
Пусть даны два чётных числа $a$ и $b$.
По определению, $a = 2k$ и $b = 2m$, где $k$ и $m$ — некоторые целые числа.
Найдём их сумму: $a + b = 2k + 2m$.
Вынесем общий множитель 2 за скобки: $a + b = 2(k + m)$.
Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, их сумма $k + m$ также является целым числом. Обозначим $n = k + m$.
Тогда $a + b = 2n$. Полученное число по определению является чётным, так как оно делится на 2.
Ответ: утверждение доказано.

б) Утверждение: Сумма чётного и нечётного чисел является нечётным числом.
Доказательство.
Пусть дано чётное число $a$ и нечётное число $b$.
По определению, $a = 2k$ и $b = 2m + 1$, где $k$ и $m$ — некоторые целые числа.
Найдём их сумму: $a + b = 2k + (2m + 1)$.
Сгруппируем слагаемые: $a + b = (2k + 2m) + 1$.
Вынесем общий множитель 2 за скобки: $a + b = 2(k + m) + 1$.
Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, их сумма $k + m$ также является целым числом. Обозначим $n = k + m$.
Тогда $a + b = 2n + 1$. Полученное число по определению является нечётным, так как при делении на 2 даёт в остатке 1.
Ответ: утверждение доказано.

в) Утверждение: Произведение чётного и нечётного чисел является чётным числом.
Доказательство.
Пусть дано чётное число $a$ и нечётное число $b$.
По определению, $a = 2k$ и $b = 2m + 1$, где $k$ и $m$ — некоторые целые числа.
Найдём их произведение: $a \cdot b = (2k) \cdot (2m + 1)$.
Используя свойство умножения, перепишем выражение: $a \cdot b = 2 \cdot [k(2m + 1)]$.
Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, то и выражение $k(2m + 1)$ является целым числом. Обозначим $n = k(2m + 1)$.
Тогда $a \cdot b = 2n$. Полученное число по определению является чётным, так как оно содержит множитель 2, а значит, делится на 2.
Ответ: утверждение доказано.