Страница 123 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

476 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

а) Объясните, почему число, равное сумме $5 \cdot 29 + 5 \cdot 17$, делится на 5. Какие ещё простые делители есть у этого числа? Назовите какие-нибудь его делители, являющиеся составными числами.

б) Объясните, почему число, равное разности $41 \cdot 7 - 17 \cdot 7$, делится на 7. Какие ещё простые делители есть у этого числа?

а) Число, равное сумме $5 \cdot 29 + 5 \cdot 17$, делится на 5, так как оба слагаемых в этой сумме имеют общий множитель 5. Используя распределительное свойство умножения, мы можем вынести 5 за скобки:$5 \cdot 29 + 5 \cdot 17 = 5 \cdot (29 + 17)$.Поскольку число представлено в виде произведения, где один из множителей равен 5, оно по определению делится на 5.

Чтобы найти другие делители, вычислим значение выражения:$5 \cdot (29 + 17) = 5 \cdot 46$.Разложим число 46 на простые множители: $46 = 2 \cdot 23$.Следовательно, исходное число равно $2 \cdot 5 \cdot 23$.Его простыми делителями являются 2, 5 и 23. Значит, другие простые делители, кроме 5, это 2 и 23.

Составные делители – это делители, которые не являются простыми (кроме 1). Их можно найти, перемножая простые делители между собой:$2 \cdot 5 = 10$$2 \cdot 23 = 46$$5 \cdot 23 = 115$$2 \cdot 5 \cdot 23 = 230$Примерами составных делителей являются 10, 46, 115.

Ответ: число делится на 5, потому что его можно представить в виде произведения $5 \cdot (29 + 17)$; другие простые делители – 2 и 23; составные делители, например, 10 и 46.

б) Число, равное разности $41 \cdot 7 - 17 \cdot 7$, делится на 7, так как уменьшаемое и вычитаемое имеют общий множитель 7. Вынесем его за скобки, используя распределительное свойство:$41 \cdot 7 - 17 \cdot 7 = (41 - 17) \cdot 7$.Так как число представлено в виде произведения, где один из множителей равен 7, оно делится на 7.

Чтобы найти другие простые делители, вычислим значение выражения:$(41 - 17) \cdot 7 = 24 \cdot 7$.Разложим число 24 на простые множители: $24 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3$.Следовательно, исходное число равно $2^3 \cdot 3 \cdot 7$.Его простыми делителями являются 2, 3 и 7. Значит, другие простые делители, кроме 7, это 2 и 3.

Ответ: число делится на 7, потому что его можно представить в виде произведения $(41 - 17) \cdot 7$; другие простые делители – 2 и 3.

477 НАБЛЮДАЕМ И ДОКАЗЫВАЕМ

1) В каждом из следующих случаев рассмотрите числовые примеры и ответьте на поставленный вопрос. Каким числом — чётным или нечётным — является:

а) сумма двух чётных чисел;

б) сумма чётного и нечётного чисел;

в) произведение чётного и нечётного чисел?

2) Сформулируйте и запишите соответствующие утверждения и докажите их, опираясь на свойства делимости.

1) В каждом из следующих случаев рассмотрим числовые примеры и ответим на поставленный вопрос.

а) сумма двух чётных чисел;
Примеры:
$4 + 8 = 12$ (чётное)
$10 + 26 = 36$ (чётное)
$100 + 2 = 102$ (чётное)
Наблюдение: сумма двух чётных чисел всегда является чётным числом.
Ответ: чётным числом.

б) сумма чётного и нечётного чисел;
Примеры:
$4 + 5 = 9$ (нечётное)
$12 + 7 = 19$ (нечётное)
$100 + 33 = 133$ (нечётное)
Наблюдение: сумма чётного и нечётного чисел всегда является нечётным числом.
Ответ: нечётным числом.

в) произведение чётного и нечётного чисел?
Примеры:
$2 \cdot 3 = 6$ (чётное)
$10 \cdot 7 = 70$ (чётное)
$8 \cdot 9 = 72$ (чётное)
Наблюдение: произведение чётного и нечётного чисел всегда является чётным числом.
Ответ: чётным числом.

2) Сформулируем и докажем соответствующие утверждения, опираясь на свойства делимости.

Для доказательства будем использовать алгебраическое представление чисел:
Чётное число — это целое число, которое делится на 2, т.е. его можно представить в виде $2k$, где $k$ — целое число.
Нечётное число — это целое число, которое не делится на 2, т.е. его можно представить в виде $2m + 1$, где $m$ — целое число.

а) Утверждение: Сумма двух чётных чисел является чётным числом.
Доказательство.
Пусть даны два чётных числа $a$ и $b$.
По определению, $a = 2k$ и $b = 2m$, где $k$ и $m$ — некоторые целые числа.
Найдём их сумму: $a + b = 2k + 2m$.
Вынесем общий множитель 2 за скобки: $a + b = 2(k + m)$.
Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, их сумма $k + m$ также является целым числом. Обозначим $n = k + m$.
Тогда $a + b = 2n$. Полученное число по определению является чётным, так как оно делится на 2.
Ответ: утверждение доказано.

б) Утверждение: Сумма чётного и нечётного чисел является нечётным числом.
Доказательство.
Пусть дано чётное число $a$ и нечётное число $b$.
По определению, $a = 2k$ и $b = 2m + 1$, где $k$ и $m$ — некоторые целые числа.
Найдём их сумму: $a + b = 2k + (2m + 1)$.
Сгруппируем слагаемые: $a + b = (2k + 2m) + 1$.
Вынесем общий множитель 2 за скобки: $a + b = 2(k + m) + 1$.
Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, их сумма $k + m$ также является целым числом. Обозначим $n = k + m$.
Тогда $a + b = 2n + 1$. Полученное число по определению является нечётным, так как при делении на 2 даёт в остатке 1.
Ответ: утверждение доказано.

в) Утверждение: Произведение чётного и нечётного чисел является чётным числом.
Доказательство.
Пусть дано чётное число $a$ и нечётное число $b$.
По определению, $a = 2k$ и $b = 2m + 1$, где $k$ и $m$ — некоторые целые числа.
Найдём их произведение: $a \cdot b = (2k) \cdot (2m + 1)$.
Используя свойство умножения, перепишем выражение: $a \cdot b = 2 \cdot [k(2m + 1)]$.
Поскольку $k$ и $m$ — целые числа, то и выражение $k(2m + 1)$ является целым числом. Обозначим $n = k(2m + 1)$.
Тогда $a \cdot b = 2n$. Полученное число по определению является чётным, так как оно содержит множитель 2, а значит, делится на 2.
Ответ: утверждение доказано.

РАССУЖДАЕМ (478–479)

478

1) Докажем, что число 217 не делится на 17. Для этого разобьём число 217 на слагаемые так, чтобы ответ на вопрос об их делимости на 17 был очевиден: $217 = 170 + 47$. Первое слагаемое делится на 17, а второе нет. Значит, и их сумма не делится на 17.

2) Докажите следующее утверждение, разбив данное число на слагаемые:

a) число 128 делится на 8;

б) число 238 не делится на 22;

в) число 385 делится на 11.

а) Чтобы доказать, что число 128 делится на 8, разобьём его на слагаемые, делимость которых на 8 очевидна. Представим 128 в виде суммы чисел, кратных 8. Например: $128 = 80 + 48$. Первое слагаемое, 80, делится на 8 ($80 \div 8 = 10$). Второе слагаемое, 48, также делится на 8 ($48 \div 8 = 6$). Поскольку оба слагаемых делятся на 8, то и их сумма делится на 8. Таким образом, 128 делится на 8.

Ответ: число 128 делится на 8.

б) Чтобы доказать, что число 238 не делится на 22, разобьём его на слагаемые так, чтобы одно из них делилось на 22, а другое — нет. Возьмём ближайшее к 238 число, кратное 22, — это 220. $238 = 220 + 18$. Первое слагаемое, 220, делится на 22 ($220 \div 22 = 10$). Второе слагаемое, 18, не делится на 22 без остатка. Если в сумме одно слагаемое делится на некоторое число, а другое — нет, то и вся сумма не делится на это число. Следовательно, 238 не делится на 22.

Ответ: число 238 не делится на 22.

в) Чтобы доказать, что число 385 делится на 11, разобьём его на слагаемые, каждое из которых делится на 11. Например: $385 = 330 + 55$. Первое слагаемое, 330, делится на 11 ($330 \div 11 = 30$). Второе слагаемое, 55, также делится на 11 ($55 \div 11 = 5$). Поскольку оба слагаемых делятся на 11, то и их сумма делится на 11. Таким образом, 385 делится на 11.

Ответ: число 385 делится на 11.

479 Может ли:

а) сумма двух простых чисел быть простым числом; составным числом?

б) произведение двух простых чисел быть простым числом; составным числом?

а) сумма двух простых чисел быть простым числом; составным числом?

Может ли сумма быть простым числом:
Да, может. Все простые числа, кроме 2, являются нечетными. Сумма двух нечетных простых чисел всегда будет четным числом, большим 2, а значит, составным (например, $3+5=8$). Однако если одно из слагаемых — это число 2 (единственное четное простое число), то их сумма может быть простым числом.
Например, возьмем простые числа 2 и 3. Их сумма: $2 + 3 = 5$. Число 5 является простым.
Ответ: Да, может.

Может ли сумма быть составным числом:
Да, может. Как было показано выше, сумма любых двух нечетных простых чисел всегда является составным числом. Также сумма может быть составной, если одно из слагаемых равно 2.
Например, возьмем простые числа 5 и 7. Их сумма: $5 + 7 = 12$. Число 12 является составным. Или $2+7=9$, где 9 - составное число.
Ответ: Да, может.

б) произведение двух простых чисел быть простым числом; составным числом?

Может ли произведение быть простым числом:
Нет, не может. По определению, простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя. Пусть $p_1$ и $p_2$ — два простых числа. Их произведение $P = p_1 \times p_2$ будет делиться на 1, $p_1$, $p_2$ и $P$. Поскольку любое простое число больше 1 ($p_1 > 1$ и $p_2 > 1$), у числа $P$ есть делители $p_1$ и $p_2$, которые отличны от 1 и от самого числа $P$. Это противоречит определению простого числа.
Ответ: Нет, не может.

Может ли произведение быть составным числом:
Да, может. Более того, произведение двух простых чисел всегда является составным числом. Как показано в предыдущем пункте, у такого произведения всегда есть делители (сами простые множители), которые отличны от 1 и самого произведения. Это и есть определение составного числа.
Например, возьмем простые числа 3 и 5. Их произведение: $3 \times 5 = 15$. Число 15 является составным (его делители 1, 3, 5, 15).
Ответ: Да, может.

480 Найдите наименьшее общее кратное чисел:

а) 2, 3 и 5;

б) 3, 9 и 18.

Наименьшее общее кратное (НОК) — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из заданных чисел без остатка.

а)

Требуется найти наименьшее общее кратное для чисел 2, 3 и 5.

Числа 2, 3 и 5 являются простыми. Это означает, что они не имеют общих делителей, кроме 1 (такие числа называются взаимно простыми).

Чтобы найти НОК для взаимно простых чисел, необходимо их перемножить.

НОК(2, 3, 5) = $2 \times 3 \times 5 = 6 \times 5 = 30$.

Таким образом, 30 — это наименьшее число, которое делится одновременно на 2, 3 и 5.

Ответ: 30

б)

Требуется найти наименьшее общее кратное для чисел 3, 9 и 18.

Для нахождения НОК можно использовать несколько способов.

Способ 1: Проверка делимости большего числа.

Заметим, что число 18 делится на 9 и на 3 без остатка:

$18 \div 9 = 2$

$18 \div 3 = 6$

Если одно из чисел в наборе делится на все остальные, то это число и является их наименьшим общим кратным. Следовательно, НОК(3, 9, 18) = 18.

Способ 2: Разложение на простые множители.

Разложим каждое число на простые множители:

$3 = 3$

$9 = 3 \times 3 = 3^2$

$18 = 2 \times 9 = 2 \times 3^2$

Чтобы найти НОК, нужно взять каждый простой множитель в наибольшей степени, в которой он встречается в разложениях, и перемножить их. В данном случае это $2^1$ и $3^2$.

НОК(3, 9, 18) = $2^1 \times 3^2 = 2 \times 9 = 18$.

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 18

481 Является ли данный ряд чисел рядом кратных и если да, то какого числа:

a) $2, 4, 6, 8, 10, ...;$

б) $1, 3, 5, 7, 9, ...;$

в) $4, 8, 12, 16, 20, ...;$

г) $3, 6, 9, 12, 15, ...;$

д) $5, 15, 25, 35, 45, ...;$

е) $2, 4, 8, 16, 32, ...?$

а) 2, 4, 6, 8, 10, ...

Для того чтобы определить, является ли ряд чисел рядом кратных, нужно проверить, делятся ли все его члены на одно и то же число и являются ли они последовательными кратными.
Первый член ряда — 2. Проверим, являются ли остальные члены ряда кратными 2 в последовательном порядке.
$2 = 2 \cdot 1$
$4 = 2 \cdot 2$
$6 = 2 \cdot 3$
$8 = 2 \cdot 4$
$10 = 2 \cdot 5$
...
Каждый член ряда получается путем умножения числа 2 на натуральные числа 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. Следовательно, данный ряд является рядом кратных числа 2.
Ответ: Да, является рядом кратных числа 2.

б) 1, 3, 5, 7, 9, ...

Данный ряд состоит из нечетных натуральных чисел. Ряд кратных числа $k$ должен состоять из чисел вида $k \cdot n$, где $n = 1, 2, 3, ...$. Разность между соседними членами такого ряда постоянна и равна $k$.
В данном ряду разность между соседними членами постоянна: $3-1=2$, $5-3=2$, $7-5=2$. Это арифметическая прогрессия с разностью 2. Однако, чтобы это был ряд кратных числа 2, он должен был бы состоять из четных чисел (2, 4, 6, ...).
Числа в ряду не имеют общего делителя, большего 1. Таким образом, этот ряд не является рядом кратных.
Ответ: Нет, не является.

в) 4, 8, 12, 16, 20, ...

Первый член ряда — 4. Проверим, являются ли остальные члены ряда последовательными кратными числа 4.
$4 = 4 \cdot 1$
$8 = 4 \cdot 2$
$12 = 4 \cdot 3$
$16 = 4 \cdot 4$
$20 = 4 \cdot 5$
...
Каждый член ряда является результатом умножения числа 4 на последовательные натуральные числа. Значит, это ряд кратных числа 4.
Ответ: Да, является рядом кратных числа 4.

г) 3, 6, 9, 12, 15, ...

Первый член ряда — 3. Проверим, являются ли остальные члены ряда последовательными кратными числа 3.
$3 = 3 \cdot 1$
$6 = 3 \cdot 2$
$9 = 3 \cdot 3$
$12 = 3 \cdot 4$
$15 = 3 \cdot 5$
...
Каждый член ряда является результатом умножения числа 3 на последовательные натуральные числа. Значит, это ряд кратных числа 3.
Ответ: Да, является рядом кратных числа 3.

д) 5, 15, 25, 35, 45, ...

Все числа в этом ряду делятся на 5. Проверим, являются ли они последовательными кратными.
$5 = 5 \cdot 1$
$15 = 5 \cdot 3$
$25 = 5 \cdot 5$
$35 = 5 \cdot 7$
$45 = 5 \cdot 9$
...
Ряд кратных числа 5 должен включать все числа, получаемые умножением 5 на натуральные числа: 5, 10, 15, 20, 25, ... . В заданном ряду пропущены такие кратные, как 10, 20, 30 и т.д. Следовательно, это не ряд кратных.
Ответ: Нет, не является.

е) 2, 4, 8, 16, 32, ...

Ряд кратных числа $k$ представляет собой арифметическую прогрессию, где разность между соседними членами постоянна и равна $k$. Найдем разность между соседними членами данного ряда:
$4 - 2 = 2$
$8 - 4 = 4$
$16 - 8 = 8$
Разность между членами не является постоянной. Этот ряд — геометрическая прогрессия, где каждый следующий член в 2 раза больше предыдущего. Он не является рядом кратных в стандартном понимании (арифметической прогрессией).
Ответ: Нет, не является.

482 В коробке лежат синие и чёрные авторучки — всего 70 штук. Синих авторучек на 10 меньше, чем чёрных. Сколько чёрных авторучек в коробке?

Для решения этой задачи можно составить уравнение. Пусть $x$ — это количество чёрных авторучек в коробке.

Из условия задачи мы знаем, что синих авторучек на 10 меньше, чем чёрных. Следовательно, количество синих авторучек можно выразить как $x - 10$.

Общее количество авторучек в коробке равно 70. Это сумма синих и чёрных авторучек. Составим уравнение:

(количество чёрных ручек) + (количество синих ручек) = 70

$x + (x - 10) = 70$

Теперь решим полученное уравнение:

$2x - 10 = 70$

Перенесём 10 в правую часть уравнения, изменив знак:

$2x = 70 + 10$

$2x = 80$

Найдём $x$, разделив обе части уравнения на 2:

$x = \frac{80}{2}$

$x = 40$

Таким образом, в коробке 40 чёрных авторучек.

Проверим:

Количество чёрных авторучек: 40.

Количество синих авторучек: $40 - 10 = 30$.

Общее количество: $40 + 30 = 70$.

Все условия задачи выполнены.

Ответ: 40.

483 Определите на глаз, есть ли в четырёхугольнике, изображённом на рисунке 6.3, прямой угол, какой из его углов тупой, сколько у него острых углов. Измерьте и запишите величину каждого угла четырёхугольника. Выполнив необходимые измерения, найдите его периметр.

Рис. 6.3

Определение типа углов на глаз

При визуальном осмотре четырёхугольника ABCD можно сделать следующие выводы:
1. Прямых углов (равных $90^\circ$) в четырёхугольнике нет.
2. Угол B является тупым, так как он заметно больше прямого угла.
3. Углы A, C и D являются острыми, так как они меньше прямого угла.

Ответ: В четырёхугольнике нет прямых углов, один тупой угол (B) и три острых угла (A, C, D).

Измерение и запись величины каждого угла

Для определения точных величин углов воспользуемся транспортиром. Результаты измерений (могут незначительно отличаться в зависимости от точности изображения) будут следующими:
$ \angle A \approx 80^\circ $
$ \angle B \approx 110^\circ $
$ \angle C \approx 85^\circ $
$ \angle D \approx 85^\circ $
Для проверки можно сложить полученные значения: $ 80^\circ + 110^\circ + 85^\circ + 85^\circ = 360^\circ $. Сумма углов выпуклого четырёхугольника всегда равна $360^\circ$, что подтверждает корректность измерений.

Ответ: $ \angle A \approx 80^\circ, \angle B \approx 110^\circ, \angle C \approx 85^\circ, \angle D \approx 85^\circ $.

Нахождение периметра

Для нахождения периметра необходимо измерить длины всех сторон четырёхугольника с помощью линейки. Получим следующие приблизительные значения:
$ AB \approx 2.5 \text{ см} $
$ BC \approx 5.0 \text{ см} $
$ CD \approx 4.0 \text{ см} $
$ DA \approx 3.0 \text{ см} $
Периметр $P$ равен сумме длин всех сторон: $ P = AB + BC + CD + DA $.
Вычислим его: $ P \approx 2.5 \text{ см} + 5.0 \text{ см} + 4.0 \text{ см} + 3.0 \text{ см} = 14.5 \text{ см} $.

Ответ: Периметр четырёхугольника равен приблизительно $14.5 \text{ см}$.