Номер 489, страница 126 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

6.4. Признаки делимости. Глава 6. Делимость чисел - номер 489, страница 126.

РАССУЖДАЕМ (489–491)

489 Не выполняя действий, определите, делится ли значение выражения на 3, на 9:

a) $181 \cdot 261$;

б) $114 + 305$;

в) $87 + 204 + 1107$.

Чтобы определить, делится ли значение выражения на 3 или на 9, не выполняя вычислений, воспользуемся признаками делимости.

Признак делимости на 3: число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Признак делимости на 9: число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9.

а) 181 · 261

Для произведения используется следующее свойство: если хотя бы один из множителей делится на некоторое число, то и все произведение делится на это число.

Проверим каждый множитель:

1) Число 181. Сумма его цифр: $1 + 8 + 1 = 10$. Число 10 не делится ни на 3, ни на 9. Следовательно, число 181 не делится ни на 3, ни на 9.

2) Число 261. Сумма его цифр: $2 + 6 + 1 = 9$. Число 9 делится и на 3, и на 9. Следовательно, число 261 делится и на 3, и на 9.

Так как один из множителей (261) делится на 3 и на 9, то и все произведение $181 \cdot 261$ делится на 3 и на 9.

Ответ: значение выражения делится на 3 и на 9.

б) 114 + 305

Для суммы используется следующее свойство: сумма делится на некоторое число, если сумма остатков от деления каждого слагаемого на это число делится на это число.

Проверим делимость на 3:

1) Число 114. Сумма его цифр: $1 + 1 + 4 = 6$. Число 6 делится на 3. Следовательно, 114 делится на 3.

2) Число 305. Сумма его цифр: $3 + 0 + 5 = 8$. Число 8 не делится на 3. Следовательно, 305 не делится на 3.

Так как одно слагаемое (114) делится на 3, а второе (305) не делится на 3, то их сумма $114 + 305$ не делится на 3.

Проверим делимость на 9:

1) Число 114. Сумма цифр равна 6. Число 6 не делится на 9. Остаток от деления 114 на 9 равен 6.

2) Число 305. Сумма цифр равна 8. Число 8 не делится на 9. Остаток от деления 305 на 9 равен 8.

Сумма остатков от деления на 9: $6 + 8 = 14$. Число 14 не делится на 9. Следовательно, сумма $114 + 305$ не делится на 9.

Ответ: значение выражения не делится ни на 3, ни на 9.

в) 87 + 204 + 1107

Используем тот же подход, что и в пункте б).

Проверим делимость на 3:

1) Число 87. Сумма цифр: $8 + 7 = 15$. 15 делится на 3.

2) Число 204. Сумма цифр: $2 + 0 + 4 = 6$. 6 делится на 3.

3) Число 1107. Сумма цифр: $1 + 1 + 0 + 7 = 9$. 9 делится на 3.

Так как все слагаемые делятся на 3, то и их сумма $87 + 204 + 1107$ делится на 3.

Проверим делимость на 9:

1) Число 87. Сумма цифр 15. 15 не делится на 9. Остаток от деления 87 на 9 равен 6.

2) Число 204. Сумма цифр 6. 6 не делится на 9. Остаток от деления 204 на 9 равен 6.

3) Число 1107. Сумма цифр 9. 9 делится на 9. Остаток от деления 1107 на 9 равен 0.

Сумма остатков от деления на 9: $6 + 6 + 0 = 12$. Число 12 не делится на 9. Следовательно, сумма $87 + 204 + 1107$ не делится на 9.

Ответ: значение выражения делится на 3, но не делится на 9.