Номер 460, страница 120 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

6.2. Простые и составные числа. Глава 6. Делимость чисел - номер 460, страница 120.

460 РАССУЖДАЕМ Представьте число 46 в виде суммы двух простых чисел всеми возможными способами.

Чтобы представить число 46 в виде суммы двух простых чисел, необходимо найти два простых числа $p_1$ и $p_2$, для которых выполняется равенство $p_1 + p_2 = 46$.

Простое число — это натуральное число больше 1, которое имеет ровно два делителя: 1 и само себя.

Сначала выпишем все простые числа, которые меньше 46, так как оба слагаемых должны быть меньше искомой суммы:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43.

Число 46 — чётное. Сумма двух чисел является чётной, если оба слагаемых имеют одинаковую чётность (оба чётные или оба нечётные). Единственное чётное простое число — это 2. Если бы одно из слагаемых было 2, то второе было бы $46 - 2 = 44$. Число 44 не является простым. Следовательно, оба искомых простых числа должны быть нечётными.

Будем последовательно проверять пары чисел. Для этого возьмём простое число $p_1$ и найдём второе число $p_2 = 46 - p_1$. Затем проверим, является ли $p_2$ простым.

1. Если $p_1 = 3$, то второе слагаемое $p_2 = 46 - 3 = 43$. Число 43 является простым. Получаем первую пару: $3 + 43 = 46$.

2. Если $p_1 = 5$, то $p_2 = 46 - 5 = 41$. Число 41 является простым. Получаем вторую пару: $5 + 41 = 46$.

3. Если $p_1 = 7$, то $p_2 = 46 - 7 = 39$. Число 39 не является простым ($39 = 3 \cdot 13$).

4. Если $p_1 = 11$, то $p_2 = 46 - 11 = 35$. Число 35 не является простым ($35 = 5 \cdot 7$).

5. Если $p_1 = 13$, то $p_2 = 46 - 13 = 33$. Число 33 не является простым ($33 = 3 \cdot 11$).

6. Если $p_1 = 17$, то $p_2 = 46 - 17 = 29$. Число 29 является простым. Получаем третью пару: $17 + 29 = 46$.

7. Если $p_1 = 19$, то $p_2 = 46 - 19 = 27$. Число 27 не является простым ($27 = 3^3$).

8. Если $p_1 = 23$, то $p_2 = 46 - 23 = 23$. Число 23 является простым. Получаем четвёртую пару: $23 + 23 = 46$.

Перебор можно остановить, так как следующее простое число (29) больше половины от 46. Проверка $p_1 = 29$ даст $p_2 = 17$, что является уже найденной парой, только с переставленными слагаемыми.

Ответ: $46 = 3 + 43$; $46 = 5 + 41$; $46 = 17 + 29$; $46 = 23 + 23$.