Номер 453, страница 119 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

6.2. Простые и составные числа. Глава 6. Делимость чисел - номер 453, страница 119.

453 Среди двузначных простых чисел, записанных разными цифрами, есть такие, которые остаются простыми после перестановки цифр. Сколько всего таких двузначных чисел имеется?

Задача состоит в том, чтобы найти все двузначные простые числа, записанные разными цифрами, которые остаются простыми после перестановки своих цифр, и посчитать их количество.

Пусть искомое двузначное число имеет вид $10a + b$, где $a$ — цифра десятков ($a \in \{1, 2, ..., 9\}$), а $b$ — цифра единиц ($b \in \{0, 1, ..., 9\}$). По условию, $a \neq b$.

Число $10a + b$ должно быть простым. После перестановки цифр мы получаем число $10b + a$, которое также должно быть простым.

Чтобы двузначное число было простым, его последняя цифра не может быть четной (0, 2, 4, 6, 8) или 5, так как в этом случае число будет делиться на 2 или на 5. Таким образом, цифра единиц $b$ может быть только 1, 3, 7 или 9.

Аналогично, для числа $10b + a$, полученного после перестановки цифр, его последняя цифра $a$ также должна принадлежать набору {1, 3, 7, 9}.

Следовательно, обе цифры искомого числа, $a$ и $b$, должны быть выбраны из набора {1, 3, 7, 9}.

Теперь systematically проверим все пары различных чисел, составленных из этих цифр.

• Пара цифр {1, 3}
  Число 13 — простое.
  Число после перестановки, 31 — тоже простое.
  Эта пара подходит. Мы нашли два числа: 13 и 31.
• Пара цифр {1, 7}
  Число 17 — простое.
  Число после перестановки, 71 — тоже простое.
  Эта пара подходит. Мы нашли еще два числа: 17 и 71.
• Пара цифр {1, 9}
  Число 19 — простое.
  Число после перестановки, 91, является составным, так как $91 = 7 \times 13$.
  Эта пара не подходит.
• Пара цифр {3, 7}
  Число 37 — простое.
  Число после перестановки, 73 — тоже простое.
  Эта пара подходит. Мы нашли еще два числа: 37 и 73.
• Пара цифр {3, 9}
  Число 39 является составным, так как $39 = 3 \times 13$.
  Эта пара не подходит.
• Пара цифр {7, 9}
  Число 79 — простое.
  Число после перестановки, 97 — тоже простое.
  Эта пара подходит. Мы нашли еще два числа: 79 и 97.

Мы рассмотрели все возможные комбинации. Числа, удовлетворяющие условию задачи, это: 13, 31, 17, 71, 37, 73, 79, 97.

Всего таких чисел $2 + 2 + 2 + 2 = 8$.

Ответ: 8