Вопросы, страница 116 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

6.2. Простые и составные числа. Глава 6. Делимость чисел - страница 116.

Какое натуральное число называется простым числом? составным числом?

Приведите примеры простых и составных чисел.

Какое натуральное число не является ни простым, ни составным числом?

Перечислите в порядке возрастания все однозначные простые числа.

Объясните, почему никакое чётное число, кроме числа 2, не является простым.

С помощью таблицы простых чисел (см. с. 282) выясните, какие из чисел 163, 261, 271, 447, 457, 759 являются простыми.

Как с помощью таблицы простых чисел можно убедиться, что некоторое трёхзначное число (например, 573) является составным?

Известны разложения на простые множители двух чисел a и b:

$a = 2 \cdot 3 \cdot 19$

$b = 3^2 \cdot 5 \cdot 7$

Сколько простых множителей содержится в каждом из разложений?

Почему в разложении числа на простые множители не пишут 1?

Какое натуральное число называется простым числом? составным числом? Приведите примеры простых и составных чисел.

Натуральное число, большее 1, называется простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само себя.
Натуральное число, большее 1, называется составным, если оно имеет более двух делителей (то есть имеет делители, отличные от единицы и самого себя).
Примеры простых чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.
Примеры составных чисел: 4 (делители 1, 2, 4), 6 (делители 1, 2, 3, 6), 9 (делители 1, 3, 9), 10 (делители 1, 2, 5, 10).

Ответ: Простым называется натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. Составным называется натуральное число больше 1, у которого есть другие делители. Примеры простых: 2, 3, 5. Примеры составных: 4, 6, 8.

Какое натуральное число не является ни простым, ни составным числом?

Число 1 не является ни простым, ни составным. Это следует из определений: и простые, и составные числа должны быть больше 1. У числа 1 только один делитель — оно само.

Ответ: 1.

Перечислите в порядке возрастания все однозначные простые числа.

Однозначные натуральные числа — это 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Среди них простыми являются те, что делятся только на 1 и на себя:
- 2 (делители 1, 2)
- 3 (делители 1, 3)
- 5 (делители 1, 5)
- 7 (делители 1, 7)
Числа 4, 6, 8, 9 являются составными, а 1 не относится ни к тем, ни к другим.

Ответ: 2, 3, 5, 7.

Объясните, почему никакое чётное число, кроме числа 2, не является простым.

Любое чётное число по определению делится на 2. Если чётное число больше 2, то оно имеет как минимум три делителя: 1, 2 и само себя. Например, число 10 делится на 1, 2, 5 и 10.
Поскольку у такого числа есть делитель (число 2), отличный от 1 и самого себя, оно не может быть простым. Число 2 является исключением, так как его делители — это только 1 и 2, что соответствует определению простого числа.

Ответ: Любое чётное число, кроме 2, делится на 1, на 2 и на само себя, то есть имеет более двух делителей, а значит, является составным.

С помощью таблицы простых чисел (см. с. 282) выясните, какие из чисел 163, 261, 271, 447, 457, 759 являются простыми.

Чтобы проверить, является ли число простым, нужно проверить его наличие в таблице простых чисел. Если числа в таблице нет, можно попытаться разделить его на простые числа по порядку.
- $163$ — является простым числом (его можно найти в таблице простых чисел).
- $261$ — сумма цифр $2+6+1=9$, делится на 3 ($261 = 3 \cdot 87$). Это составное число.
- $271$ — является простым числом.
- $447$ — сумма цифр $4+4+7=15$, делится на 3 ($447 = 3 \cdot 149$). Это составное число.
- $457$ — является простым числом.
- $759$ — сумма цифр $7+5+9=21$, делится на 3 ($759 = 3 \cdot 253$). Это составное число.

Ответ: Простыми являются числа 163, 271, 457.

Как с помощью таблицы простых чисел можно убедиться, что некоторое трёхзначное число (например, 573) является составным?

Нужно последовательно делить это число на простые числа из таблицы (2, 3, 5, 7, 11, ...). Если хотя бы одно деление произойдет без остатка, то число является составным.
Для числа 573:
1. Проверяем делимость на 2: 573 — нечётное, на 2 не делится.
2. Проверяем делимость на 3: сумма цифр $5+7+3=15$. Так как 15 делится на 3, то и 573 делится на 3. $573 \div 3 = 191$.
Поскольку мы нашли простой делитель (3), который отличен от 1 и 573, мы убедились, что число 573 является составным.

Ответ: Нужно делить число на простые числа из таблицы по порядку (2, 3, 5, ...). Если найдется простой делитель, который делит число без остатка, то оно является составным. Например, 573 делится на 3.

Известны разложения на простые множители двух чисел a и b: $a = 2 \cdot 3 \cdot 19$ и $b = 3^2 \cdot 5 \cdot 7$. Сколько простых множителей содержится в каждом из разложений?

Чтобы посчитать количество простых множителей, нужно сосчитать их в разложении с учётом степени.
- Для числа $a = 2 \cdot 3 \cdot 19$ множителями являются 2, 3 и 19. Всего 3 множителя.
- Для числа $b = 3^2 \cdot 5 \cdot 7$, что можно записать как $b = 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7$, множителями являются 3, 3, 5 и 7. Всего 4 множителя.

Ответ: В разложении числа $a$ содержится 3 простых множителя, в разложении числа $b$ — 4 простых множителя.

Почему в разложении числа на простые множители не пишут 1?

Есть две основные причины:
1. По определению, разложение на простые множители — это представление числа в виде произведения простых чисел. Число 1 не является простым, поэтому его не может быть в таком разложении.
2. Если бы мы разрешили использовать 1 в качестве множителя, то разложение перестало бы быть уникальным. Например, число 6 можно было бы записать как $2 \cdot 3$, и как $1 \cdot 2 \cdot 3$, и как $1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3$ и так далее до бесконечности. Основная теорема арифметики говорит о единственности разложения на простые множители, и это свойство было бы нарушено.

Ответ: Потому что 1 не является простым числом, а также для того, чтобы разложение было единственным.